Cím: Beszámoló a III. Hegyi Lajos Matematikai Emlékversenyről
Szerző(k):  Dáné Károly 
Füzet: 2000/március, 149 - 152. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

Marosvásárhely, 1999. december 11.
 

Az emlékversenyre évente, decemberben kerül sor a marosvásárhelyi Bolyai Farkas Líceumban. Iskolánk vezetősége és matematika tanárai így állítanak emléket a líceum egykori diákjának, a nyolcvanas években rendezett számos helyi és országos matematika verseny díjazottjának, Hegyi Lajosnak, aki ‐ máig is tisztázatlan körülmények között ‐ hősi halált halt 1989. december 21-én, városunk főterén.
A idei versenyen Erdély nagyhírű iskoláiból közel száz, matematikát kedvelő és színvonalasan művelő diák vett részt. Sajnos a verseny kezdetekor vasutassztrájk bénította meg részlegesen a közlekedést, így néhány csapat nem tehetett eleget a meghívásnak.
Az ünnepélyes eredményhirdetést Fodor Imre, Marosvásárhely polgármestere is megtisztelte jelenlétével.

 
Díjazottak:
 

IX. osztály
 


I. díj: Dáné Andrea, Bolyai Farkas Líceum, Marosvásárhely; 
II. díj: Szilágyi Márta, Báthory István Líceum, Kolozsvár; 
III. díj: Sebe Attila, Báthory István Líceum, Kolozsvár;
 
Dicséretek: Kiss Zsuzsa, Tamási Áron Líceum, Székelyudvarhely; Klein Cristian, Al. Papiu Ilarian Nemzeti Kollégium, Marosvásárhely; Orbán György, Báthory István Líceum, Kolozsvár; Kovács Károly, Tamási Áron Líceum, Székelyudvarhely.
 
X. osztály
 


I. díj: Buksa Szilárd, Baróti Szabó Dávid Líceum, Barót; 
Il. díj: B^atiu Daria, Al. Papiu Ilarian Nemzeti Kollégium, Marosvásárhely; 
III. díj: Pol Marius, Al. Papiu Ilarian Nemzeti Kollégium, Marosvásárhely;
 
Dicséretek: Sipos István, Ady Endre Líceum, Nagyvárad; Berekméri Melinda, Bolyai Farkas Líceum, Marosvásárhely; Gyöngyösi Éva, Tamási Áron Líceum, Székelyudvarhely; László Tamás, Tamási Áron Líceum, Székelyudvarhely; Szőcs Emese, Márton Áron Líceum, Csíkszereda.
 
XI. osztály
 


I. díj: Dávid László, Bolyai Farkas Líceum, Marosvásárhely; 
II. díj: Măşăşan Alexandru, Al. Papiu Ilarian Nemzeti Kollégium, Marosvásárhely; 
III. díj: Csibi Attila, Bolyai Farkas Líceum, Marosvásárhely;
 
Dicséretek: Babu Andreea, Al. Papiu Ilarian Nemzeti Kollégium, Marosvásárhely; Mátis Anikó, Apáczai Csere János Líceum, Kolozsvár; Ogrean Mihai, Al. Papiu Ilarian Nemzeti Kollégium, Marosvásárhely.
 
XII. osztály
 


I. díj: Demeter Albert, Orbán Balázs Líceum, Székelykeresztúr; 
I. díj: Stoica Emanuel, Al. Papiu Ilarian Nemzeti Kollégium, Marosvásárhely; 
III. díj: Mátis István, Apáczai Csere János Líceum, Kolozsvár; 
III. díj: Popa Daniel, Al. Papiu Ilarian Nemzeti Kollégium, Marosvásárhely;
 
Dicséretek: Kósa Gergely, Al. Papiu Ilarian Nemzeti Kollégium, Marosvásárhely; Molnár Róbert, Németh László Líceum, Nagybánya; Tamás Levente, Bolyai Farkas Líceum, Marosvásárhely; Găbudean Călin, Al. Papiu Ilarian Nemzeti Kollégium, Marosvásárhely.

Dáné Károly

 

 
A III. Hegyi Lajos Emlékverseny feladatai
 

IX. osztály
 


 
1. Egy hétjegyű telefonszámot (a1a2a3a4a5a6a7) megjegyezhetőnek nevezünk, ha az a1a2a3 számjegysorozat megegyezik az a4a5a6 vagy a5a6a7 számjegysorozatok valamelyikével (esetleg mindkettővel). Minden egyes ai a 0, 1, 2, ..., 9 számjegyek bármelyike lehet. Hány megjegyezhető telefonszám van összesen?
 
2. Határozzátok meg az x, y és z valós számokat, ha:
x+y-1+z-2=x+y+z2.

 
3. Oldjátok meg az egész számok halmazán a következő egyenletet:
(x+y)2-4(x-y)=13.

 
4. Adott a síkban két háromszög: ABC és A'B'C', súlypontjaik G, illetve G'. Bizonyítsátok be, hogy:
a) AA'+BB'+CC'=3GG';
b) ha A'B=kA'C, B'C=kB'A, C'A=kC'B (kR, k1), akkor G és G' egybeesnek.

 
 
X. osztály
 


 
1. Bizonyítsátok be, hogy ha z1, z2, ..., znC, és |z1|=|z2|=...=|zn|, akkor
(1+z2z1)(1+z3z2)...(1+znzn-1)(1+z1zn)R.

 
2. Oldjátok meg a következő egyenletet: log3(2x+1)=log2(3x-1).
 
3. Két szabályos háromoldalú gúla alapja közös. Két oldalél által bezárt szög mértéke az egyik gúlán α, a másikon β. A közös alapháromszög köré írt kör sugara a két gúla magasságának mértani középarányosa. Igazoljátok, hogy:
cosα+cosβ=12.

 
4. Egy konvex négyszögben AB és CD szemben fekvő oldalak. Mindkettőt 3 egyenlő részre osztjuk, és a megfelelő szemben fekvő osztópontokat összekötjük. (A keletkezett szakaszok nem metszik egymást.) Bizonyítsuk be, hogy az így keletkezett 3 négyszög között van olyan, amelyiknek a területe egyenlő az adott négyszög területének egyharmadával.

 
 
XI. osztály
 


 
1. Adott egy n×n mezőből álló sakktábla. Legkevesebb hány mezőt kell találomra kifesteni hogy biztosan létezzen legalább egy teljesen befestett sor vagy oszlop?
 
2. Legyen AMn(R); A2=0n. (A n×n-es valós mátrix, a négyzete az azonosan 0 mátrix.) Igazoljátok, hogy:
a) det(A+In)0;
b) ha n páratlan szám, akkor det(A+In)det(A-In).
 
3. Legyen xn=sinπn3+n+π3, yn=xn+1xn, zn=nxn (nN*). Tanulmányozzátok az (xn)n>0, (yn)n>0 és (zn)n>0 sorozatok konvergenciáját, és amelyiknek van, számítsátok ki a határértékét!
 
4. Adott a0=a1=0, an+1-2an+an-1=n, nN*. Bizonyítsátok be, hogy a bn=ann(n-1)n összefüggéssel értelmezett (bn)n2 sorozat konvergens, és számítsátok ki a határértékét!

 
XII. osztály
 


 
1. Az f:(0,π)R, f(x)=sin2nxsinx (nN*) függvény egyik primitív függvénye F. Bizonyítsátok be, hogy ha limn0n>0F(x)=0, akkor F(π2)=2(1-13+15-...+(-1)n+12n-1).
 
2. Legyen α1, α2, ..., αn(0,π2), és sn=sin2α1+sin2α2+...+sin2αn. Bizonyítsátok be, hogy
tg2α1+tg2α2+...+tg2αnnsnn-sn(nN*).

 
3. Legyen (G,) egy csoport, amely rendelkezik a következő tulajdonsággal:
aGúgy, hogy  xG  esetén  axna=x.
Bizonyítsátok be, hogy, ha n=2, akkor G csak egy elemből áll, ha pedig n=3, akkor G kommutatív csoport.
 
4. Hány megoldása van az egész számok halmazában az 1x+1y=110n egyenletnek (nN*)?