Kezdőlap


Cím:	Beszámoló a III. Hegyi Lajos Matematikai Emlékversenyről
Szerző(k):	Dáné Károly
Füzet:	2000/március, 149 - 152. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Marosvásárhely, 1999. december 11.

Az emlékversenyre évente, decemberben kerül sor a marosvásárhelyi Bolyai Farkas Líceumban. Iskolánk vezetősége és matematika tanárai így állítanak emléket a líceum egykori diákjának, a nyolcvanas években rendezett számos helyi és országos matematika verseny díjazottjának, Hegyi Lajosnak, aki ‐ máig is tisztázatlan körülmények között ‐ hősi halált halt 1989. december 21-én, városunk főterén.
A idei versenyen Erdély nagyhírű iskoláiból közel száz, matematikát kedvelő és színvonalasan művelő diák vett részt. Sajnos a verseny kezdetekor vasutassztrájk bénította meg részlegesen a közlekedést, így néhány csapat nem tehetett eleget a meghívásnak.
Az ünnepélyes eredményhirdetést Fodor Imre, Marosvásárhely polgármestere is megtisztelte jelenlétével.

Díjazottak:

IX. osztály

I. díj: Dáné Andrea, Bolyai Farkas Líceum, Marosvásárhely;
II. díj: Szilágyi Márta, Báthory István Líceum, Kolozsvár;
III. díj: Sebe Attila, Báthory István Líceum, Kolozsvár;

Dicséretek: Kiss Zsuzsa, Tamási Áron Líceum, Székelyudvarhely; Klein Cristian, Al. Papiu Ilarian Nemzeti Kollégium, Marosvásárhely; Orbán György, Báthory István Líceum, Kolozsvár; Kovács Károly, Tamási Áron Líceum, Székelyudvarhely.

X. osztály

I. díj: Buksa Szilárd, Baróti Szabó Dávid Líceum, Barót;
Il. díj: B

^

atiu Daria, Al. Papiu Ilarian Nemzeti Kollégium, Marosvásárhely;
III. díj: Pol Marius, Al. Papiu Ilarian Nemzeti Kollégium, Marosvásárhely;

Dicséretek: Sipos István, Ady Endre Líceum, Nagyvárad; Berekméri Melinda, Bolyai Farkas Líceum, Marosvásárhely; Gyöngyösi Éva, Tamási Áron Líceum, Székelyudvarhely; László Tamás, Tamási Áron Líceum, Székelyudvarhely; Szőcs Emese, Márton Áron Líceum, Csíkszereda.

XI. osztály

I. díj: Dávid László, Bolyai Farkas Líceum, Marosvásárhely;
II. díj: Măşăşan Alexandru, Al. Papiu Ilarian Nemzeti Kollégium, Marosvásárhely;
III. díj: Csibi Attila, Bolyai Farkas Líceum, Marosvásárhely;

Dicséretek: Babu Andreea, Al. Papiu Ilarian Nemzeti Kollégium, Marosvásárhely; Mátis Anikó, Apáczai Csere János Líceum, Kolozsvár; Ogrean Mihai, Al. Papiu Ilarian Nemzeti Kollégium, Marosvásárhely.

XII. osztály

I. díj: Demeter Albert, Orbán Balázs Líceum, Székelykeresztúr;
I. díj: Stoica Emanuel, Al. Papiu Ilarian Nemzeti Kollégium, Marosvásárhely;
III. díj: Mátis István, Apáczai Csere János Líceum, Kolozsvár;
III. díj: Popa Daniel, Al. Papiu Ilarian Nemzeti Kollégium, Marosvásárhely;

Dicséretek: Kósa Gergely, Al. Papiu Ilarian Nemzeti Kollégium, Marosvásárhely; Molnár Róbert, Németh László Líceum, Nagybánya; Tamás Levente, Bolyai Farkas Líceum, Marosvásárhely; Găbudean Călin, Al. Papiu Ilarian Nemzeti Kollégium, Marosvásárhely.

Dáné Károly

A III. Hegyi Lajos Emlékverseny feladatai

IX. osztály

1. Egy hétjegyű telefonszámot (

a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} a_{7}

) megjegyezhetőnek nevezünk, ha az

a_{1} a_{2} a_{3}

számjegysorozat megegyezik az

a_{4} a_{5} a_{6}

vagy

a_{5} a_{6} a_{7}

számjegysorozatok valamelyikével (esetleg mindkettővel). Minden egyes

a_{i}

a 0, 1, 2,

...

, 9 számjegyek bármelyike lehet. Hány megjegyezhető telefonszám van összesen?

2. Határozzátok meg az

x

y

és

z

valós számokat, ha:

\begin{matrix} \sqrt[]{x} + \sqrt[]{y - 1} + \sqrt[]{z - 2} = \frac{x + y + z}{2} . \end{matrix}

3. Oldjátok meg az egész számok halmazán a következő egyenletet:

\begin{matrix} {(x + y)}^{2} - 4 (x - y) = 13. \end{matrix}

4. Adott a síkban két háromszög:

A B C

és

A' B' C'

, súlypontjaik

G

, illetve

G'

. Bizonyítsátok be, hogy:
a)

\vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'} = 3 \cdot \vec{G G'}

;
b) ha

\vec{A' B} = k \cdot \vec{A' C}

\vec{B' C} = k \cdot \vec{B' A}

\vec{C' A} = k \cdot \vec{C' B}

(

k \in R

k \neq 1

), akkor

G

és

G'

egybeesnek.

X. osztály

1. Bizonyítsátok be, hogy ha

z_{1}

z_{2}

...

z_{n} \in C

, és

| z_{1} | = | z_{2} | = ... = | z_{n} |

, akkor

\begin{matrix} (1 + \frac{z_{2}}{z_{1}}) (1 + \frac{z_{3}}{z_{2}}) \cdot ... \cdot (1 + \frac{z_{n}}{z_{n - 1}}) (1 + \frac{z_{1}}{z_{n}}) \in R . \end{matrix}

2. Oldjátok meg a következő egyenletet:

log_{3} (2^{x} + 1) = log_{2} (3^{x} - 1)

3. Két szabályos háromoldalú gúla alapja közös. Két oldalél által bezárt szög mértéke az egyik gúlán

α

, a másikon

β

. A közös alapháromszög köré írt kör sugara a két gúla magasságának mértani középarányosa. Igazoljátok, hogy:

\begin{matrix} cos α + cos β = \frac{1}{2} . \end{matrix}

4. Egy konvex négyszögben

A B

és

C D

szemben fekvő oldalak. Mindkettőt 3 egyenlő részre osztjuk, és a megfelelő szemben fekvő osztópontokat összekötjük. (A keletkezett szakaszok nem metszik egymást.) Bizonyítsuk be, hogy az így keletkezett 3 négyszög között van olyan, amelyiknek a területe egyenlő az adott négyszög területének egyharmadával.

XI. osztály

1. Adott egy

n \times n

mezőből álló sakktábla. Legkevesebb hány mezőt kell találomra kifesteni hogy biztosan létezzen legalább egy teljesen befestett sor vagy oszlop?

2. Legyen

A \in M_{n} (R)

;

A^{2} = 0_{n}

. (

A

n \times n

-es valós mátrix, a négyzete az azonosan 0 mátrix.) Igazoljátok, hogy:
a)

det (A + I_{n}) \geq 0

;
b) ha

n

páratlan szám, akkor

det (A + I_{n}) \geq det (A - I_{n})

3. Legyen

x_{n} = sin π \sqrt[3]{n^{3} + n + π}

y_{n} = \frac{x_{n + 1}}{x_{n}}

z_{n} = n x_{n}

(

n \in N^{*}

). Tanulmányozzátok az

{(x_{n})}_{n > 0}

{(y_{n})}_{n > 0}

és

{(z_{n})}_{n > 0}

sorozatok konvergenciáját, és amelyiknek van, számítsátok ki a határértékét!

4. Adott

a_{0} = a_{1} = 0

a_{n + 1} - 2 a_{n} + a_{n - 1} = n

\forall n \in N^{*}

. Bizonyítsátok be, hogy a

b_{n} = \sqrt[n]{\frac{a_{n}}{n (n - 1)}}

összefüggéssel értelmezett

{(b_{n})}_{n \geq 2}

sorozat konvergens, és számítsátok ki a határértékét!

XII. osztály

1. Az

f : (0, π) \to R

f (x) = \frac{sin 2 n x}{sin x}

(

n \in N^{*}

) függvény egyik primitív függvénye

F

. Bizonyítsátok be, hogy ha

{lim}_{}^{}_{\binom{n \to 0}{n > 0}}^{} F (x) = 0

, akkor

F (\frac{π}{2}) = 2 (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - ... + \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2 n - 1})

2. Legyen

α_{1}

α_{2}

...

α_{n} \in (0, \frac{π}{2})

, és

s_{n} = sin^{2} α_{1} + sin^{2} α_{2} + ... + sin^{2} α_{n}

. Bizonyítsátok be, hogy

\begin{matrix} tg^{2} α_{1} + tg^{2} α_{2} + ... + tg^{2} α_{n} \geq \frac{n \cdot s_{n}}{n - s_{n}} (n \in N^{*}) . \end{matrix}

3. Legyen

(G, \cdot)

egy csoport, amely rendelkezik a következő tulajdonsággal:

\begin{matrix} \exists a \in G úgy, hogy \forall x \in G esetén a \cdot x^{n} \cdot a = x . \end{matrix}

Bizonyítsátok be, hogy, ha

n = 2

, akkor

G

csak egy elemből áll, ha pedig

n = 3

, akkor

G

kommutatív csoport.

4. Hány megoldása van az egész számok halmazában az

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{10^{n}}

egyenletnek (

n \in N^{*}