Cím: Megjegyzés a B. 3295. feladathoz - alakzatok súlypontjáról
Szerző(k):  Bogdán Zoltán 
Füzet: 2000/február, 72 - 75. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb írások
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/szeptember: B.3295

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Gy. 3213. gyakorlatban egy konvex ötszög területét kellett megfelezni kerületének egy kijelölt pontján átmenő egyenessel (megoldása megjelent a KöMaL 1999/3. számában). Az 1999/6. számban kitűzött B. 3295. feladatban az volt a kérdés, hogy a háromszög súlypontján átmenő egyenesek közül melyek felezik a háromszög területét (megoldása e szám 96. oldalán). Aki megoldotta ezeket a feladatokat, rájöhetett: A területfelező nem okvetlenül súlyvonal, a súlyvonal pedig nem mindig területfelező. A második feladatban súlyponton átmenő egyenesekről van szó, amelyek fizikai értelmezés szerint mind súlyvonalak, a matematikai fogalomalkotás szerint viszont a háromszögnek csak három súlyvonala van. A háromszögön túl ‐ pl. egy ötszög esetén ‐ a matematikában alig-alig esik szó súlyvonalról. Az említett két feladat jó alkalom, hogy a súlypontról beszéljünk. Ezt az is indokolja, hogy a dolgozatok javítása közben észrevehetjük: a súlyvonal és a súlypont fogalma a megoldókban kialakulatlan.
A súlypont fizikai fogalom, amelyet pl. úgy értelmezhetünk, hogy a súlypontban alátámasztott test egyensúlyban van. Másrészt a súlypont fogalmát a matematikában is használjuk (pl. egy háromszög súlypontja vagy egy pontrendszer súlypontja). A közös nevet az indokolja, hogy bizonyos anyageloszlások (homogén háromszöglemez vagy egyenlő tömegű pontszerű testek) esetén a matematikai értelemben vett súlypont megegyezik a fizikaival. Azonban, mint az alábbiakból kiderül, ez nincs mindig így!
1. Pontrendszer súlypontja
a) Egyetlen pont esetén a súlypont azonos a ponttal.
b) Az A, B pontok rendszerének súlypontja az AB szakasznak az az S pontja, amelyre SA+SB=0, tehát S az AB felezőpontja.

 

1. ábra
 

c) Az A, B, C ponthármas súlypontja az az S pont, amelyre SA+SB+SC=0, ami az 1. ábra jelöléseivel: a-s+b-s+c-s=0, és így
s=a+b+c3.
d) Teljesen hasonlóan kapjuk, hogy az A1, A2, ..., An pontrendszer súlypontjának helyvektora
s=a1+a2+...+ann,(1)
ahol ai az Ai helyvektora.
2. Súlyozott pontrendszer súlypontja
Ha az 1.d) esetet úgy képzeljük, hogy az A1, A2, ..., An pontokban m1, m2, ..., mn (esetleg nem pozitív) súlyok vannak, akkor a rendszer S súlypontjára
m1SA1+m2SA2+...+mnSAn=0.
Ezt a pontok helyvektorával kifejezve:
m1(a1-s)+m2(a2-s)+...+mn(an-s)=0,
amiből
s=m1a1+m2a2+...+mnanm1+m2+...+mn,(m1+m2+...+mn0).(2)
(2)-ből látjuk, hogy a közönséges pontrendszert csupa azonos súllyal súlyozott pontrendszernek is tekinthetjük.1
Súlyvonalnak hívunk ezután minden olyan egyenest, amelyik a pontrendszer súlypontján áthalad.
Bizonyítás nélkül megemlítünk két egyszerű tételt:
1. tétel. Ha egy súlyozott pontrendszert két, közös pont nélküli halmazra bontunk, és az egyiknek a súlypontja S1, a benne lévő pontok súlyainak összege M1, ugyanezek az adatok a másik halmaznál S2 és M2, akkor a pontrendszer S súlypontja az S1S2 egyenesen van, és S1S:SS2=M2:M1 (S1S és SS2 irányított szakaszok).
2. tétel. Ha egy súlyozott pontrendszer súlyai nem negatívak, akkor a súlypont benne van a pontrendszer konvex burkában.
Mindkét tétel (2)-ből levezethető.
Az alábbiakban nemcsak véges pontrendszerek súlypontját vizsgáljuk. Ehhez az 1. tétel értelemszerű kiterjesztésére van szükség, pontosabban arra, hogy ha egy ponthalmazt két részhalmazra osztunk, akkor a részhalmazok súlypontján átmenő egyenes súlyvonal, tehát átmegy a súlyponton.
3. A háromszög súlypontja
a) A három pontból álló pontrendszer súlypontjának helyvektora̲
s=a+b+c3.


2. ábra
 

b) Homogén anyageloszlású háromszöglemez súlypontja̲
Ha egy lemeznek nincsen legalább két szimmetriatengelye, a súlypont matematikai meghatározása általában nehéz feladat, integrálszámítással törtéhet. A 2. ábrán ‐ az integrálszámítást megkerülve ‐ azt láthatjuk, hogyan határozta meg Arkhimédész a háromszöglemez súlypontját. Ő úgy okoskodott, hogy ha a háromszöget az AB oldalával párhuzamos keskeny sávokra bontja, akkor mindegyik sáv súlypontja ‐ a szimmetria miatt ‐ rajta lesz a CF egyenesen (F az AB szakasz felezőpontja), ezért CF egy súlyvonal. Ugyanígy kaphatunk egy másik súlyvonalat, és a két súlyvonal metszéspontja a súlypont. Tehát a háromszöglemez súlypontja ugyanaz lesz, mint a három csúcsból álló pontrendszeré.
c) Vékony, állandó keresztmetszetű és homogén drótból készült egyenlő szárú há-̲ 
romszög alakú keret súlypontja̲
 

3. ábra
 

A 3. ábrán 1 cm hosszú drót tömege legyen 1 g. Az ACB ,,törött'' drótszakaszt AC és CB darabokból összetéve a súlypont az egyenlő tömegű AC, illetve BC részek F, G súlypontját (felezőpontját) összekötő szakasz H felezőpontja és összesen 4 g tömeget képvisel. Az AB szakasz 1 g tömege pedig a drótszakasz E súlypontjába (felezőpontjába) vonható össze. A keret súlypontja ezután a HE szakasz H-hoz közelebbi ötödölő pontja. Itt felhasználtuk azt a tényt, hogy egy testet két részre vágva, de a részeket helyben hagyva, a részek súlypontjait összekötő egyenes a test egy súlyvonala. Felhasználtuk továbbá, hogy (2)-ből az n=2 esetben az következik, hogy két pontszerű tömeg súlypontja a pontok összekötő szakaszát a tömegekkel fordított arányban osztja.
 

4. A négyszög súlypontja
a) Húrtrapézt alkotó pontnégyes súlypontja̲
A 4. ábrán F1, illetve F2 az alapok felezőpontjai. Az S súlypont az F1F2 szakasz felezőpontja.
 


4. ábra

 

5. ábra

 

b) Húrtrapéz alakú homogén lemez súlypontja̲
Az 5. ábrán F1F2 szimmetriatengely, tehát súlyvonal. Az ACD háromszög S1 és az ABC háromszög S2 súlypontját összekötve egy másik súlyvonalat kapunk. A két súlyvonal S metszéspontja a súlypont.
Az a) és b) eset azt mutatja, hogy négyszögek esetén a négy csúcs pontrendszerének súlypontja különbözhet a négyszöglemez súlypontjától.
c) Tetszőleges pontnégyes súlypontja̲
Ha az Fi pontok (i=1, 2, ..., 6) a 6. ábrán látható megfelelő szakaszok felezőpontjai, akkor például F1F3 felezőpontjaként kaphatjuk az S súlypontot. Ha a csúcsokba mutató vektorokat a megfelelő kisbetűvel jelöljük, akkor S-nek az s helyvektora.
s=a+b2+c+d22=a+d2+b+c22=a+c2+b+d22.(3)
Ha a négy pont nincs egy síkban, akkor egy tetraédert határoz meg. (3)-ból következik, hogy a tetraéder szemközti éleinek felezőpontját összekötő szakaszok egy ponton mennek át, ez a pont a pontrendszer súlypontja, és felezi a szóbanforgó szakaszokat.
Bebizonyítható, hogy a homogén anyageloszlású tetraéder alakú test súlypontja megkapható az előbbi módon (6. ábra).
 


6. ábra

 

7. ábra


 

d) Homogén anyageloszlású (sík)négyszöglemez súlypontja̲
A 7. ábrán az ABCD minden oldalát három egyenlő részre osztottuk. Az osztópontokat az ábra szerint összekötve a PQRT paralelogrammát, az úgynevezett Wittenbauer-paralelogrammát kapjuk. S1 az ABD háromszög, S3 pedig a BCD háromszög súlypontja, ezért S1S3 a négyszög egy súlyvonala. Hasonlóan súlyvonal S2S4 is, ezért S a négyszög súlypontja. Mivel S1S3, illetve S2S4 illeszkednek a Wittenbauer-paralelogramma középvonalaira, S ennek a paralelogrammának a középpontja.
5. Az elmondottak alapján tetszőleges (súlyozott) pontrendszer, vagy homogén sokszöglemez súlypontja megszerkeszthető. A tetraéderrel kapcsolatos tétel alapján bizonyos testek súlypontja is meghatározható.
Bogdán Zoltán

1Bár pontrendszer súlypontját annak helyvektorával adtuk meg, könnyen ellenőrizhető, hogy maga a súlypont nem függ az origó megválasztásától. (A szerk.)