Cím: Mikor kommutatív, illetve asszociatív a hatványozás?
Szerző(k):  Lóczi Lajos 
Füzet: 2000/január, 7 - 16. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

Az összeadás és a szorzás jól ismert tulajdonságai a kommutativitás és az asszociativitás: ha a és b tetszőleges valós számok, akkor
a+b=b+aésab=ba,
illetve
(a+b)+c=a+(b+c)és(ab)c=a(bc).
Tudjuk azonban, hogy a hatványozás már nem rendelkezik ezzel a két tulajdonsággal; tetszőleges (a,b) számpárra (illetve (a,b,c) számhármasra) általában
abbaés(ab)ca(bc).
Ám ez még nem zárja ki azt, hogy bizonyos esetekben egyenlőség álljon fenn. Cikkünkben megkeressük az összes olyan (pozitív) valós számpárt és számhármast, amelyekre a hatványozás kommutatív, illetve asszociatív, segítségükkel pedig az egész és a racionális számok körében is megvizsgáljuk a kérdést.
 
 
A kommutatív eset
 
 

Jelölésünket némileg módosítva keressük tehát az xy=yx egyenletet kielégítő x és y pozitív valós számokat. (Azért szorítkozunk a továbbiakban csak pozitív számokra, mert negatív alap esetén a hatványozás nincs minden kitevőre definiálva a valós számkörben, valamint az az eset sem különösebben érdekes, ha x vagy y valamelyike 0-val egyenlő.) Az elinduláshoz ‐ mint új problémák esetén oly gyakran ‐ először próbáljunk egy-két megoldást megsejteni. Viszonylag hamar rátalálhatunk az x=2, y=4 számpárra (természetesen az egyenlet szimmetriája miatt a fordított szereposztás is megfelelő). Mivel több egész megoldás nem látszik, próbálkozzunk gyökös kifejezésekkel. Ha szerencsénk van, rájöhetünk, hogy x=3 és y=33 megfelelő, ugyanis
(33)3=(33)3=3(33).
Itt a hatványozás jól ismert tulajdonságán kívül azon múlott a dolog, hogy 33 felírható, mint 33. Némi további gondolkodás után rátalálunk az x=43, y=443 párra; ez is jó, hiszen
(443)43=(434)43=43(443).
A lényeg itt is az, hogy 443=434. Mindkét (sőt, mindhárom) példában megfigyelhetjük, hogy y=vx alakú, ahol vx=xv. Próbáljunk meg ezen a nyomon elindulni.
 
Új változó bevezetése
 

A fenti észrevétel szerint keressük y-t y=vx alakban, ahol v valós paraméter. (Úgy is fogalmazhatunk, hogy bevezetjük a v=yx új változót. Nyilván v>0.) Ekkor az egyenlet így írható át:
(vx)x=yx=xy=xvx=(xv)x.
Mivel itt minden érték pozitív, a két szélső kifejezést 1x-edik hatványra emelve adódik, hogy vx=xv, tényleg ezen múlik a megoldás. Most 1x-szel szorozva kapjuk, hogy v=xv-1. Ha v1 ‐ azaz xy ‐, akkor 1v-1-edik hatványra emelve x=v1v-1-et nyerjük. y-ra pedig ezt kapjuk:
y=vx=vv1v-1=v1v-1+1=vvv-1=xv.
Ha viszont v=1, akkor y=x adódik, ami nyilván megoldás.
A továbbiakban gyakran szerepel a fenti, x-re kapott kifejezés, vezessük erre be a h(v) jelölést: legyen h(v)=v1v-1. A h(v) függvény értelmezési tartománya az 1-től különböző pozitív valós számok halmaza, értéke nyilván mindig pozitív.
Megkaptuk a lehetséges megoldásokat, hátravan még annak ellenőrzése, hogy ezek tényleg megoldások-e. A v=1 esetben, ha x tetszőleges pozitív valós szám, akkor y=x nyilván megoldás; nevezzük ezeket triviális megoldásoknak. Ha v1, akkor x=h(v) és y=vh(v) szintén megoldások (hívjuk őket nemtriviális megoldásoknak), hiszen mint láttuk, y=vx=xv, és így
yx=(xv)x=xvx=xy.
Első célunkat elértük, előállítottuk az xy=yx egyenlőségnek eleget tevő (x,y) pozitív valós számpárokat: (x,x), illetve (h(v),vh(v)) alakban (v>0, v1).
A talált h(v) függvény érdekes tulajdonságokkal rendelkezik. Ha v>0, v1 továbbra is, akkor h(v) az az érték, amelynél mindegy, hogy megszorozzuk-e v-vel, avagy a v-edik hatványra emeljük, eredményül ugyanazt kapjuk: vh(v)=h(v)v, ahogy azt az imént láttuk. Egy másik függvényegyenlet, amelynek h eleget tesz, a következő: vh(v)=h(1v), illetve az osztással adódó h(v)=1vh(1v) alak. (Gyakorlásként ellenőrizzük helyességüket.)
Ebből az is látszik, hogy a nemtriviális megoldások (h(v),h(1v)) alakba is írhatók, tehát az (x,y) párból a v1v helyettesítéssel az (y,x) megoldást kapjuk.
A h függvény nem értelmes, ha v=1, ugyanakkor megmutatható, hogy szigorúan monoton fogyó, és limv1h(v)=e (a természes alapú logaritmus alapszáma, e=2,71828...)
 

1. ábra
 

 
Egy kis analízis
 

Szeretnénk az xy=yx egyenlet fent nyert megoldásait grafikusan ábrázolni. A triviális megoldás az xy koordinátasíkon az 1. negyed szögfelező egyenese (vagyis az y=x egyenletű félegyenes, x, y>0 esetén). A nemtriviális megoldás viszont nem a szokásos y=f(x) alakban áll előttünk: y-t nem x függvényeként sikerült megkapnunk, hanem x is és y is a v paraméter függvénye. A talált jellemzésből ugyanakkor látszik, hogy a h értékkészletébe tartozó tetszőleges x-hez egy és csak egy tőle különböző y tartozik, amelyre xy=yx, így az f:xy függvény mindenesetre létezik. Elvben nem is lenne akadálya, hogy a nemtriviális megoldásokat ilyen (x,f(x)) alakba írjuk. Jelölje ugyanis h[-1] a fent definiált h függvény inverz függvényét (h szigorú monotonitása miatt ez létezik), ekkor x=h(v)-ből v=h[-1](x), így (h(v),vh(v))=(x,h[-1](x)x) a keresett alakú (az f(x)=xh[-1](x) választással). Ez az átalakítás azonban nem ad lényeges információt a továbblépéshez, mert az x=h(v) egyenletből v kifejezése, vagyis a h[-1] függvény meghatározása elemi módon (,,képlettel'') ‐ úgy tűnik ‐ nem lehetséges.
Így a paraméteres előállításban szereplő két függvény, h(v) és vh(v) viselkedését vizsgáljuk tovább; ennek eredményeként az általuk (mint koordinátafüggvények által) leírt görbét ‐ a nemtriviális megoldásokat ‐ fel fogjuk tudni vázolni. Ezt a görbét a triviális megoldással egy koordináta-rendszerben ábrázolva kapunk teljes képet az egyenlet pozitív valós megoldásairól.
A vizsgálathoz szükség van a határérték és a derivált fogalmára (néhány nevezetes határértékkel együtt); részben emiatt, részben pedig terjedelmi okokból ezeket a bizonyításokat nem közöljük.
Bizonyos mértékben egyszerűsíti a továbbiakat (és egyéb összefüggésekre mutat rá), ha ismét új változót vezetünk be, ,,átparaméterezzük'' függvényeinket. Jelölje u a h(v) függvényben v kitevőjét, azaz u=1v-1. Ebből v=1+1u adódik. Függvényeink ezzel az új változóval a
h(v)=(1+1u)u,illetve avh(v)=(1+1u)u+1
alakot öltik. Jelöljük az u változó ezen új függvényeit rendre g1(u), illetve g2(u)-val. Nem nehéz látni, hogy a g1 függvény grafikonja és a g2 függvény grafikonja egymás tengelyes tükörképei. A tengely az x=-12 egyenes: a számegyenesen ugyanis egy u pont (-12)-re vonatkozó tükörképe (-u-1), és u helyett (-u-1)-et helyettesítve g1-ben a függvény éppen g2-be megy át. Formálisan: g1(-u-1)=g2(u), és fordítva, g2(-u-1)=g1(u).
Elég tehát a továbbiakban pl. a g1 függvénnyel foglalkozni, ebből g2 tulajdonságai egyszerűen leolvashatók. Mivel v az 1-től különböző pozitív számokat futja be, könnyen ellenőrizhető, hogy a helyettesítés után u az R[-1,0] halmazon fog végigfutni (itt a szögletes zárójel a zárt intervallumot jelöli, R a valós számok halmaza). Ez tehát g1 értelmezési tartománya. A g1 függvény viselkedéséről a következő ismert határértékek nyújtanak felvilágosítást (értelmezési tartományának határpontjaiban vizsgálva): limug1(u)=e, alulról tartva.
 
2. ábra
 

limu0+0g1(u)=1, felülről, ugyanis ez a (jobb oldali) határérték a w=1u helyettesítéssel visszavezethető limww+1w=1-re.
limu-1-0g1(u)=+, hiszen az alap felülről 0-hoz tart, míg a kitevő (-1)-hez.
limu-g1(u)=e, felülről tartva, a w=-u helyettesítéssel látható be.
A g1 függvény folytonos az értelmezési tartományán. Megmutatható, hogy szigorúan monoton növő a (-;-1) és a (0;+) intervallumokon. A g1 függvény grafikonját lásd a 2. ábrán.
Minden lényeges információ a rendelkezésünkre áll a g1 függvényről (és ezzel együtt ,,párjáról'', g2-ről is). Mindezeket figyelembe véve, ábrázolhatjuk az xy=yx egyenlet nemtriviális megoldásait a (g1(u),g2(u)) paraméteres alakból, ahol uR[-1,0]. (Természetesen ez ekvivalens az eredeti (h(v),vh(v)), v>0, v1 paraméterezéssel (3. ábra).) Amint u (-)-től (-1)-ig nő, a (g1(u),g2(u)) pontok a 3. ábrán a jobb alsó görbedarabot írják le, mert az első koordinátafüggvény e-től -ig nő, míg a második koordinátafüggvény e-től 1-ig csökken, szigorúan monoton módon. Amint pedig u 0-tól +-ig nő, a (g1(u),g2(u)) pontok a bal felső görbedarabot fogják kirajzolni, ugyanis az első koordináta 1-től e-ig növekszik, a második koordináta +-ről e-re csökken, szintén szigorúan monoton módon. A 45-os egyenes, ahogyan e rész elején láttuk, a triviális megoldásból származott. A 3. ábrán látható az összes pozitív (x,y) számpár, amelyekre a hatványozás kommutatív. A megoldások szimmetriája azt jelenti, hogy a görbe szimmetrikus az y=x egyenesre. A triviális és a nemtriviális megoldások görbéi az (e,e) pontban találkoznak.
 
3. ábra
 

 
Néhány egyszerű következmény
 

A fentiek alapján megállapíthatjuk például, hogy a hatványozás nem lehet kommutatív, ha az alap és a kitevő mindketten 1-nél kisebb, különböző számok, hiszen a nemtriviális esetben a g1 és g2 függvények értékei nagyobbak 1-nél. Hasonlóan látható a grafikonról, hogy ha x, y>e és xy, akkor xy szintén nem egyenlő yx-nel.
Ha az xy kifejezésben x és y helyére beírjuk a paraméteres előállítást, akkor a
h(v)[vh(v)]=vvvv-1/(v-1)
kifejezést kapjuk. Erről a függvényről belátható, hogy értékkészlete az (ee,) intervallum. Ebből következik például, hogy ha egy xy hatvány értéke kisebb ee-nél és xy, akkor xyyx.
 
Az egész és racionális megoldások
 

A pozitív valós megoldások után térjünk most rá az xy=yx egyenlet pozitív egész, illetve pozitív racionális megoldásainak megkeresésére. A triviális eset egyszerű: bármely x egész, illetve racionális szám megfelelő (y=x, x>0). A nemtriviális eset összetettebb. Az egész megoldásokat a grafikonról is leolvashatjuk: a bal felső ág első koordinátájára 1<x<e, és e<3 miatt ilyen egész csak x=2 lehet, ehhez pedig az y=4 érték tartozik. Így a bal felső ág az egész rácspontok közül csak az (x,y)=(2,4)-en halad át. A szimmetria miatt a jobb alsó ág egyetlen rácspontja az (x,y)=(4,2) pont. Az összes egész megoldást megtaláltuk.
Vizsgáljuk most a racionális megoldásokat. A v paraméter olyan értékeit keressük, amelyekre a (h(v),vh(v)) pár mindkét tagja pozitív racionális szám. Ha h(v) racionális, akkor vh(v) csak úgy lehet racionális, ha v maga is racionális, mert h(v) mindig pozitív. v-t így elég a pq alakú számok közt keresnünk, ahol p, q pozitív egészek, és föltehető, hogy relatív prímek. Figyelembe véve, hogy nemtriviális megoldást keresünk, v1 kell legyen, ezért pq. Láttuk, hogy ha v helyett 1v-t írunk a paraméterezésben, mindössze annyi történik, hogy x és y felcserélődnek. Ezért elég a v>1 esettel foglalkozni, elég tehát p>q-t nézni. (Azaz csak a 3. ábra bal felső ágán vizsgálódunk.) Az egész megoldásokat már megkaptuk, q=1-gyel sem kell törődnünk. Emiatt p>q>1 is feltehető. Beírva v helyére pq-t, kapjuk, hogy
h(v)=(pq)qp-q.
Legyen m=p-q, ekkor m1 egész. Megmutatjuk, hogy ha m>1, akkor h(pq)=pqqqm nem lehet racionális. Most (p,q)=1, ezért a pqqq tört sem egyszerűsíthető. Egy ilyen tört m-edik gyöke viszont csak úgy lehet racionális, ha a számlálója és a nevezője is teljes m-edik hatvány.
Legyen ugyanis rsm=ab, ahol (r,s)=1, (a,b)=1 föltehető és r, s, a, b>0. Ekkor rs=ambm, másrészt (a,b)=1-ből (am,bm)=1 következik. Mivel egy racionális szám egyszerűsített alakja egyértelmű (a számláló és a nevező pozitív), mind r, mind pedig s teljes m-edik hatvány.
Így ha most h(pq) racionális, akkor pq=am és qq=bm. Megmutatjuk, hogy ha q és m relatív prímek ‐ ami most teljesül, hiszen p=q+m és (p,q)=1 ‐, akkor p is és q is teljes m-edik hatványok.
Valóban, ha egy tetszőleges prímszám kitevője a p prímtényezős felbontásában k, akkor pq-ban kq, ami most osztható m-mel. Innen pedig (m,q)=1 miatt mk következik, a p tehát valóban teljes m-edik hatvány. Ugyanígy kapjuk, hogy a q is teljes m-edik hatvány.
Az m=p-q egyenlőség ezután már nem lehetséges, hiszen két különböző m-edik hatvány különbsége nagyobb, mint m. Ha ugyanis t1>t2>0 egészek, akkor
t1m-t2m=(t1-t2)(t1m-1+t1m-2t2+...+t1t2m-2+t2m-1),
és a jobb oldal határozottan nagyobb, mint (t1-t2)mt2m-1, ami legalább m.
Ezzel igazoltuk, hogy ha m=p-q>1, akkor h(pq) irracionális.
Maradt az m=1, azaz a p=q+1 eset. Ekkor h(v)=(q+1q)q, nyilván racionális, vh(v)-re pedig (q+1q)q+1 adódik. q helyett a szokásosabb n változóval felírva megkaptuk a pozitív racionális megoldásokat
x=(1+1n)n,illetvey=(1+1n)n+1,
ahol n>1 egész. (Ha n=1, akkor az x=2, y=4 megoldást kapjuk meg újra.) Természetesen x és y most is felcserélhetők. Ezek tehát a 3. ábra nemtriviális görbéjének azon pontjai, amelyeknek mindkét koordinátája racionális.
Az analízisben az (1+1n)n, illetve az (1+1n)n+1 számokból képezett sorozatok azért nevezetesek, mert mindkettőjük határértéke (n esetén) az e szám. Általában éppen így definiálják az e számot. Mi most egy másik különleges tulajdonságukat találtuk: a hatványozás a (különböző, pozitív) racionális számok körében csak ezen számok esetén kommutatív.
 
Egy másik megközelítés
 

A kommutatív eset lezárásaként megemlítünk egy másik utat, amelyen az xy=yx egyenlet vizsgálatakor elindulhatnánk. Tulajdonképpen az egyenlet (ekvivalens módon történő) átfogalmazásáról van szó: ha mindkét oldalt 1xy-adik hatványra emeljük
(x, y>0), akkor az x1x=y1y alakhoz jutunk. Az eredetihez képest itt a két oldalon ugyanannak a függvénynek két (nem feltétlenül különböző helyen vett) helyettesítési értékéről van szó: az f(t)=t1t (t>0 valós szám) jelölés bevezetésével az egyenlet az f(x)=f(y) (eredetivel ekvivalens) alakot ölti.
Nyilván megoldást kapunk, ha x=y. A kérdés az, hogy xy esetén állhat-e egyenlőség. Némi elemzéssel (határérték, monotonitás) az f függvényről megállapítható, hogy a (0,1] jobbról zárt intervallumot önmagára képezi (kölcsönösen egyértelműen), míg az (1,e), illetve (e,) nyílt intervallumokat mind az (1,e1e) intervallumra képezi. (Az (1,e) intervallumon szigorúan monoton nő, (e,)-en szigorúan monoton csökken.) Ezekből következik (a függvény folytonosságát használva), hogy az eredeti egyenletnek van nemtriviális megoldása: 1<x<e esetén van olyan y, amelyre f(x)=f(y) (ekkor a fentiekből e<y< adódik, és y egyértelmű). Persze fordítva is igaz: minden e<x< számhoz létezik egyetlen olyan y szám (1<y<e), amelyre f(x)=f(y) (4. ábra). Az x(0,1], illetve x=e számok esetén csak y=x mellett lehet f(x)=f(y).
Összefoglalva, az x(0,1] vagy x=e számokhoz egyetlen y, míg az x(1,e) vagy x(e,) számokhoz két olyan y létezik, amelyekre xy=yx. Ebben a megközelítésben, ha nem is maguk a megoldások, de legalább a megoldások száma könnyen kideríthető.
 
4. ábra
 

 
 
Az asszociatív eset
 
 

Feladatunk most az összes olyan pozitív valós (x,y,z) számhármas megkeresése, amelyre
(xy)z=x(yz).
A bal oldal nyilván xyz alakban is felírható. Ha x1, akkor yz=yz adódik. Éppen ezzel a feltétellel talákoztunk a kommutatív eset vizsgálatakor. Ha z=1, akkor minden pozitív y megoldás, egyébként y=h(z).
Megkaptuk az összes pozitív valós számhármast, amelyekre a hatványozás asszociatív (lásd az 5. ábrát):
(1,y,z),aholy,z>0,
 
(x,y,1),
aholx1,x,y>0,
 
(x,h(z),z),
aholx1,z1;x,z>0.

 
Az egész és racionális megoldások
 

A racionális megoldásokat ‐ a kommutatív esetben elvégzett vizsgálatoknak köszönhetően ‐ könnyen felírhatjuk. A valós megoldásokból kiindulva látható, hogy a pozitív, racionális számok körében a hatványozás akkor asszociatív, ha az (x,y,z) hármas az alábbiak valamelyikével egyezik meg:
(1,y,z),ahol  y,  z>0  racionális számok,
 
(x,y,1),
ahol  x1,  x,  y>0  racionális számok,
 
(x,(1+1n)n,n+1n),
ahol  x  pozitív racionális (x1),  n  pozitív egész,
 
(x,(1+1n)n+1,nn+1),
ahol  x  pozitív racionális (x1),  n  pozitív egész.
Ezek közül az első két sor nyilvánvaló. Az utolsó két sor az (x,h(z),z) alakból származik: a kommutatív esetben ugyanis éppen azt vizsgáltuk meg, hogy racionális v mellett h(v) mikor racionális. (Itt v helyett most z a változó.) Ott azt kaptuk, hogy ha v=pq és p>q>1 egészek, akkor h(v) pontosan akkor racionális, ha p=q+1. Ebből adódik a harmadik sor (q helyett n-nel felírva, a q=1 esetet is megengedve). Végül, ha v=pq továbbra is, de q>p1, akkor a kommutatív esetben talált bizonyítás ‐ p és q szerepének felcserélésével ‐ ugyanúgy elvégezhető, ebből egyetlen lehetséges megoldásként q=p+1 adódik. Ezt tartalmazza a negyedik sor. (A p=q esettel pedig z1 miatt nem kell foglalkoznunk.)
 
5. ábra
 

Az egész megoldások a fentiekből származtathatók (a fenti harmadik sorban csak az n=1 eset szolgáltat egész értéket, az utolsó sor esetén pedig egyáltalán nincs ilyen n):
(1,y,z),ahol  y  és  z  pozitív egészek,
 
(x,y,1),
ahol  x1,  x  és  y  pozitív egészek,
 
(x,2,2),
ahol  x>1  egész.

 
Lóczi Lajos

matematikus hallgató, ELTE