Cím: Binomiális együtthatók és teljes hatványok
Szerző(k):  Győry Kálmán 
Füzet: 1999/január, 8 - 14. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Régi, sokat vizsgált diofantikus problémák voltak a következők: egymás utáni egészek szorzata, illetve binomiális együttható mikor lehet teljes hatvány? Számos részeredmény után az első kérdést 1975-ben, a másodikat 1997-ben sikerült teljesen megválaszolni. A dolgozat első részében az első probléma történetének rövid áttekintését adjuk. A második részben részletesebben foglalkozunk a binomiális együtthatókkal kapcsolatos problémával és annak megoldásával. Végül a harmadik részben a két probléma egy közös általánosításáról és annak 1998-ban nyert megoldásáról számolunk be röviden.

 
 
1. Egymásra következő egész számok szorzata
 
 

A számelmélet egyik híres kérdése volt, hogy lehet-e egymásra következő pozitív egész számok szorzata teljes hatvány. Más megfogalmazásban: mik az
n(n+1)...(n+k-1)=xl(1)
diofantikus egyenlet pozitív egész megoldásai a k2, x2, l2 feltételek mellett? A k=2 esetben nyilván nincs megoldás. A probléma C. Goldbachig nyúlik vissza, aki 1724-ben egy D. Bernoullihoz írt levélben megjegyezte, hogy az (1) egyenletnek k=3, l=2 esetén nincs megoldása. Valóban, ha volna ilyen megoldás, úgy a bal oldalt (n+1)[(n+1)2-1] alakba írva az következne, hogy (n+1)2-1 négyzetszám, ami nem lehetséges. Hasonló okoskodás alkalmazható a k=3, l>2 esetre is.
Az 1820-as évekből származik az a sejtés, hogy az (1) egyenletnek egyáltalán nincs megoldása. A sejtéssel már a múlt században is sokan foglalkoztak. Számos speciális eredmény született azokban az esetekben, amikor k értéke ,,kicsi" és l=2 vagy l=3. Az érdeklődő olvasó ezek ismertetését megtalálhatja L. E. Dickson ,,History of the Theory of Numbers" című könyvének II. kötetében, a 679‐680. oldalon (l. [1]).
1917-ben S. Narumi bebizonyította a sejtést a k202, l=2 értékekre, Szekeres György pedig a 30-as években megmutatta, hogy (1)-nek nincs olyan megoldása, melyre k8.
1939-ben Erdős Pál és O. Rigge egymástól függetlenül bebizonyították a sejtést l=2-re. Bizonyításuk meglehetősen komplikált, szellemes elemi okoskodásokon alapult. Egyebek között felhasználták Sylvesternek azt a tételét, hogy ha n>k2 egész számok, úgy
P(n(n+1)...(n+k-1))>k.
Itt P(a) egy a>1 egész szám legnagyobb prímosztóját jelöli.
1940-ben Erdős Pál és C. L. Siegel közösen bebizonyították a sejtést minden elegendően nagy k-ra. Bizonyításukban diofantikus approximációs módszereket használtak, de magát a bizonyítást soha nem publikálták. 1955-ben Erdős erre a tételre egy másik, elemi bizonyítást adott. Erdős módszerét továbbfejlesztve, végül 1975-ben Erdős és J. L. Selfridge a sejtést teljes általánosságban igazolták.
 
1. Tétel. (Erdős P. és J. L.Selfridge [2].) Az (1) egyenletnek nincs megoldása.
 
Érdekes megjegyezni, hogy a komplikált és igen szellemes elemi bizonyítás jelentős mennyiségű numerikus számítást is igényelt. A témakör részletesebb tárgyalását adja W. Narkiewicz ,,Classical problems in number theory" című könyvében (l. [7]).
 
 
2. Binomiális együtthatók
 
 

Az (1) egyenlettel rokon diofantikus egyenlet
(n+k-1k)=xl,(2)
ahol a megoldásokat a k2, nk+1, x2, l2 tulajdonságú egész számok körében keressük. Itt az nk+1 feltétel lényegében nem jelent megszorítást. Valóban, az
(n-1+kk)=(k+n-1n-1)
összefüggést felhasználva, valamint k-t és n-1-et felcserélve a (2) egyenletre vonatkozó eredmények az nk esetre is alkalmazhatók.
A k=l=2 esetben az egyenlet (n+1)n=2x2 alakra hozható. Ekkor vagy
n=u2,n+1=2v2
vagy
n=2v2,n+1=u2,
ahol u, v pozitív egészek. Innen az
u2-2v2=±1
Pell-egyenletekre jutunk, melyeknek végtelen sok u, v pozitív egész megoldásuk van. Így ebben az esetben (2)-nek is végtelen sok megoldása van.
A k=3, l=2 esetet páratlan n-re A. J. J. Meyl (1878), páros n-re G. N. Watson (1919) intézte el. Eredményeikből következik, hogy ebben az esetben (2) egyetlen megoldása n=48, x=140, azaz
(503)=1402.

Erdős egy 1939-ben megjelent dolgozatában fogalmazta meg azt a sejtést, hogy l>2 esetén a (2) egyenletnek nincs megoldása. Ugyanebben a dolgozatban ezt az állítást az l=3 és a k2l esetekben igazolta. Az l=4, 5 eseteket Obláth Richárdnak sikerült elintéznie 1948-ban.
Az (1) egyenletre korábban alkalmazott elemi módszere segítségével Erdős 1951-ben bebizonyította, hogy k4 esetén a (2) egyenletnek nincs megoldása. A bizonyítás igen szép és szellemes, magyar nyelven is elérhető Erdős Pál és Surányi János ,,Válogatott fejezetek a számelméletből" című könyvében (l. [3]).

Az Erdős‐Surányi könyv 1960-ban jelent meg először. Élvezetes stílusa, bizonyításainak szépsége, a könyvben felvetett sok nyitott probléma rendkívül népszerűvé tették a könyvet a számelméletet kedvelők körében. A jelen dolgozat szerzője a könyv hatására kezdett a 60-as évek elején, egyetemista korában az Erdős-sejtés még nyitott k=2, 3 esetével foglalkozni. Első publikációja is ezzel kapcsolatos eredményeket tartalmazott.
Az Erdős‐Surányi könyv első kiadásának valamennyi példánya hamar elfogyott a könyvesboltokban. 1996-ban jelent meg a könyv második, kibővített kiadása (l. [3]). Ennek angol nyelvű változata sajtó alatt van a Springer kiadónál.

Visszakanyarodva az Erdős-sejtéshez, 1951 után nyitott maradt a k=2 és a k=3 eset. Kiderült, hogy Erdős elemi módszere a k=2 és 3 esetre nem alkalmazható. Érdekes megjegyezni, hogy míg az (1) egyenletben a k=2 és a k=3 esetek bizonyultak a legkönnyebbeknek, a (2) egyenletnél a helyzet ennek éppen az ellenkezője, a probléma 1996-ig ellenállt minden próbálkozásnak. Ám szóljunk néhány szót az előzményekről, amelyek később igen hasznosnak bizonyultak a sejtés teljes általánosságban való bizonyítása során.
Erdős és Obláth eredményei következtében elég azzal az esettel foglalkozni, amikor (2)-ben k=2 vagy 3 és l>5 prímszám, amit a továbbiakban k-ról és l-ről fel is tételezünk.
1963-ban sikerült bebizonyítanom, hogy ha a (2) egyenlet k=2 esetén egy l>5 prímre nem megoldható, úgy k=3-ra és a tekintett l-re csak akkor lehet megoldható, ha
3l-11(modl2).(3)
Ez a kongruencia a kis Fermat-tétel szerint (modl2) helyett (modl) minden l>3 prímre teljesül. Tudjuk viszont, hogy a 230-nál kisebb számok körében (3) csak az l=11 és az l=1006003 prímszámokra áll fenn. Így a nem túl nagy l prímek esetén a k=3 esetet lényegében sikerült a k=2 esetre visszavezetni.
R. Tijdeman 1976-ban az effektív Baker-módszer felhasználásával bebizonyította, hogy a (2) egyenletnek k=2 és k=3 esetén csak véges sok megoldása lehet, és ezek a megoldások elvileg meghatározhatók. Tijdeman bizonyítása egy olyan nagy felső korlátot szolgáltatott az n, x, l ismeretlenekre, hogy a korlát alatti esetleges megoldásokat még a mai modern számítógépekkel sem lehetne megkeresni. A Baker-módszer egy élesebb változatát használva N. Terai 1994-ben bebizonyította, hogy a (2) egyenletnek a k=2 és 3 esetekben csak akkor lehet megoldása, ha l<4250.
A sejtés teljes bizonyításához az egyébként igen hatékony, mély és széles körben alkalmazható Baker-módszer önmagában nem bizonyult elegendőnek. Ehhez szükség volt a
xl+yl=czl(4)
általánosított Fermat-féle egyenlettel kapcsolatos néhány mély eredményre. Itt l>5 prímszám, c1 egész szám, x, y, z pedig 0-tól különböző, relatív prím egész ismeretlenek.
Az olvasó számára bizonyára ismert, hogy Fermat híres sejtését A. Wiles amerikai matematikus 1995-ben bebizonyította, azaz megmutatta, hogy a (4) egyenletnek c=1 esetén nincs megoldása. Wiles (részben más matematikusok közreműködésével) egy nehéz és mély módszert dolgozott ki a Fermat-sejtés bizonyítására, amiről kiderült, hogy alkalmasan továbbfejlesztve bizonyos más, 1-nél nagyobb c értékek esetén is sikerrel alkalmazható. H. Darmon és L. Merel egy 1997-ben megjelent dolgozatukban megmutatták, hogy a (4) egyenletnek c=2 esetén csak triviális megoldásai vannak, amelyekre xyz=±1 teljesül. Bár Darmon ás Merel dolgozatukban nem foglalkoztak a (2) egyenletre vonatkozó Erdős-sejtéssel (talán nem is ismerték azt), eredményükből egyszerűen következik, hogy (2) a k=2 esetben nem megoldható. Valóban, ha (2)-nek k=2 mellett volna megoldása, úgy n=yl, n+1=2zl vagy n=2zl, n+1=yl, azaz
yl±1=2zl
következne alkalmas 1-nél nagyobb y, z egészekkel, ami a Darmon‐Merel tétel szerint nem lehetséges.
Ezt követően sikerült az Erdős-sejtés bizonyításában az utolsó lépést megtenni, a k=3 esetet is elintézni. A fentiekből kitűnik, hogy ehhez tulajdonképpen már csupán egyetlen láncszem hiányzott, az l=11 eset. Ehhez segítséget nyújtott M. A. Bennett és B. M. M. de Weger egy 1997-ben publikált eredménye, mely szerint ha a, b, l pozitív egészek, b>a>1 és 3l<17 vagy l>347, akkor az
|axl-byl|=1
egyenletnek legfeljebb egy pozitív egész x, y megoldása van. A fentieket felhasználva az 1997-ben megjelent [4] dolgozatomban megmutattam, hogy a (2) egyenletnek a k=2 és k=3 esetben nincs megoldása, azaz igaz a következő:
 
2. Tétel. (Erdős P., k4 eset; H. Darmon és L. Merel, k=2 eset; Győry K., k=3 eset.) A k=l=2 esettől eltekintve a (2) egyenlet egyetlen megoldása (n,k,x,l)=(48,3,140,2), azaz (503)=1402.
 
A 2. Tételt a fenti formában publikáltam a [4] dolgozatomban. Az eddigiekből világos, hogy a tétel a felsorolt matematikusok által nyert részeredmények együtteséből született.
Erdős Pál rendszeres időközönként ellátogatott hozzánk Debrecenbe. Halála előtt tervezte, hogy 1996. október elején ismét meglátogat bennünket. A k=2 és k=3 esetekre a bizonyítást 1996 szeptemberében, Erdős Pál halála után pár nappal találtam. Úgy ismertük Őt, hogy biztosan örült volna a sejtése teljes bizonyításának. A [4] cikket az Ő emlékének dedikáltam.
Darmon és Merel, valamint Bennett és de Weger cikkei 1996-ban még csak megjelenés alatt voltak, ám a szerzők voltak szívesek kézirataikból egy-egy példányt rendelkezésemre bocsátani. És itt jön egy érdekesség: a k=3 eset bizonyításához szükség volt a fentebb ismertetett, 1963-as eredményemre. Ezt az eredményt a külföldi kollégák nem ismerték. Gondolom azért, mert annak idején azt magyarul, a Matematikai Lapokban publikáltam. Emiatt az angol nyelvű [4] dolgozatomban a k=3 esetre egy részletes, teljes bizonyítást adtam, az 1963-as eredményem bizonyítását is beépítve.
A k=3 eset bizonyításának főbb lépései a következők. Ha a k=3 és l>5 prím esetben (2) megoldható és 3n, vagy 3n+2, úgy könnyen belátható, hogy (n+22), illetve (n2) teljes l-edik hatvány, ami a Darmon‐Merel tétel miatt nem lehet. Maradt a 3n+1 eset, amikor
n=2wl,n+1=3vl,n+2=2lul
vagy
n=2lul,n+1=3vl,n+2=2wl,
ahol n1 és v>1, w>1 egészek. Innen az
2(wl±1)=3vl±1=(2u)l(5)
diofantikus egyenletrendszerek adódnak.
Itt szükség volt egy S. Lubelskitől és a jelen szerzőtől származó tételre, mely szerint a (4) egyenletből c>1 esetén (bizonyos technikai feltételek mellett) következik, hogy ha x, y, z megoldás és 3x-y (Lubelski, 1935) vagy 3x+y (Győry, 1966), akkor szükségképpen teljesül a (3) kongruencia. Ennek bizonyításához mély algebrai számelméleti eszközökre volt szükség.
Az említett eredmény felhasználásával be lehet bizonyítani, hogy az (5)-ben szereplő diofantikus egyenletrendszerek akármelyikének a megoldhatóságából következik a (3) kongruencia. Továbbá (5)-ből adódóan
|2wl-3vl|=1,
aminek v=w=1 megoldása. Ezért l<17 vagy l>347 esetén Bennett és de Weger tétele szerint további megoldás nem létezhet, azaz az (5) egyenletrendszerek a v>1, w>1 feltételek mellett nem megoldhatók. A fennmaradó 17l347 esetekben a (3) kongruencia nem teljesül, így készen vagyunk. Megjegyezzük, hogy itt használhattuk volna Terai eredményét is, ebben az esetben Bennett és de Weger tételét elég az l=11 esetre alkalmazni.
 
 
3. Az (1) és (2) egyenletek egy közös általánosítása
 
 

Az (1) és (2) egyenletek közös általánosításaként tekintsük most a
n(n+1)...(n+k-1)=bxl(6)
egyenletet, ahol n, k, b, x, l valamennyien pozitív egész ismeretlenek és k2, l2, P(b)k, b  l-edik hatványmentes. Amennyiben b=1, úgy ez éppen az (1) egyenlet, míg ha b a k! l-edik hatványmentes része, úgy a (2) egyenletet kapjuk. Azt a feltételt, hogy b  l-edik hatványmentes, elejthetnénk. Viszont ezen feltétel mellett a (6) jobb oldalának bxl alakban való felírása egyértelművé válik, ami később hasznosnak fog bizonyulni.
A (6) egyenlettel és annak további általánosításaival (például a dolgozat végén szereplő (7) és (8) egyenletekkel) sokan, közöttük Erdős Pál, T. N. Shorey, R. Tijdeman, N. Saradha, Hajdú Lajos, Brindza Béla, Ruzsa Imre és a szerző foglalkoztak.
Mint fentebb láttuk, a (6) egyenletnek a k=b=l=2 esetben végtelen sok megoldása van.
Elég a (6) egyenlet azon (n,k,b,x,l) megoldásaival foglalkozni, amelyekre P(x)>k. Valóban, adott k-ra a (6) egyenletnek csak véges sok P(x)k tulajdonságú megoldása van, és mindezek könnyen meghatározhatók. Jelöljük ugyanis p(k)-val a legkisebb olyan prímszámot, melyre p(k)>k. Sylvester fentebb idézett tételének következménye, hogy P(x)k mellett (n,k,b,x,l) akkor és csak akkor megoldása (6)-nak, ha n{1,2,...,p(k)-k}. Tehát n és így b, x, l tényleg könnyen meghatározható. Vegyük észre, hogy n=1 minden k-ra megoldása (6)-nak, k! mindig felírható bxl alakban a kívánt tulajdonsággal.
 
Példa. Könnyen ellenőrizhető, hogy p(2)=3 és p(3)=5. Ezért k=2, 3 esetén (6) összes, P(x)k tulajdonságú (n,k,b,x,l) megoldásai:
(1,2,2,1,l2),(1,3,6,1,l2),(2,3,24,1,l4),(2,3,6,2,2),(2,3,3,2,3).
Az Erdős‐Selfridge tétel bizonyításának módszerét továbbfejlesztve N. Saradha egy 1997-ben megjelent dolgozatában bebizonyította, hogy k4 esetén a (6) egyenletnek nincs olyan megoldása, amelyre P(x)>k. A bizonyítás a k=2 és 3 esetekre nem alkalmazható.
A Wiles-módszer egy változatával K. A. Ribet 1997-ben megmutatta, hogy a (4) egyenletnek nincs megoldása, amennyiben c a 2-nek 1-nél nagyobb és l-nél kisebb kitevőjű hatványa. A Darmon‐Merel-tétel és a Ribet-tétel felhasználásával a szerzőnek [5] újabban sikerült Saradha eredményének megfelelőjét k=2 és k=3-ra is igazolnia. A következő, [5]-ben ilyen formában publikált tétel a (6) egyenlet teljes megoldását szolgáltatja a P(x)>k feltétel mellett.
 
3. Tétel. (N. Saradha, k4 eset; Győry K., k3 eset). A k=b=l=2 esettől eltekintve (n,k,b,x,l)=(48,3,6,140,2), azaz 484950=61402 a (6) egyenlet egyetlen olyan megoldása, melyre P(x)>k
Most megmutatjuk, hogy a 3. Tételből levezethető mind az 1. Tétel, mind pedig a 2. Tétel.

Először tekintsük az (1) egyenletet, s tegyük fel, hogy (n,k,x,l) megoldása (1)-nek. A k=l=2 eset nyilván nem lehetséges. Továbbá a 3. Tétel miatt P(x)>k sem teljesülhet. Ha viszont P(x)k, úgy Sylvester tétele szerint nk, azaz nn+k2. Továbbá Csebisev tétele következtében létezik olyan p prímszám, amelyre n+k2pn+k-1. Ebből következik, hogy p-nek csupán az első hatványa lehet osztója n(n+1)...(n+k-1)-nek, ami (1) miatt nem lehetséges. Ezzel az 1. Tételt levezettük a 3. Tételből.

Ezután tekintsük a (2) egyenlet egy (n,k,x,l) megoldását. A (2) egyenlet
n(n+1)...(n+k-1)=bxl
alakba írható, ahol b a k! legnagyobb l-edik hatványmentes osztója. Feltevés szerint nk+1, ezért Sylvester tételét alkalmazva P(x)>k adódik. Ekkor viszont a 2. Tétel már azonnal következik a 3. Tételből.
Az (1), (2) és (6) egyenletek további általánosításai a
n(n+d)...(n+(k-1)d)=xl(7)
és a
n(n+d)...(n+(k-1)d)=bxl(8)
egyenletek, ahol n, d, k, b, x, l pozitív egész ismeretlenek, k3, x2, l2, (n,d)=1 és P(b)k. Mint említettük, ezekkel az egyenletekkel is sokan foglalkoztak, sok érdekes eredményt publikáltak. Ezekről az eredményekről az érdeklődő olvasó áttekintést nyerhet a [7], [9], [8], [6] munkákból. Azonban ellentétben az (1), (2) és (6) egyenletekkel, amelyeknek teljes megoldását ismerjük, a (7) és (8) egyenletekkel kapcsolatban eddig csupán részeredmények születtek.
 
 
Irodalom
 
 

*[1]L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, 2. kiadás, Chelsea Publ. Comp., New York, 1971.
*[2]P. Erdős and J. L. Selfridge, The product of consecutive integers is never a power, Illinois J. Math. 19 (1975), 292‐301.
*[3]Erdős Pál és Surányi János, Válogatott fejezetek a számelméletből, Tankönyvkiadó Vállalat, Budapest, 1960. Második, kibővített kiadás: Polygon, Szeged, 1996.
*[4]K. Győry, On the diophantine equation (nk)=xl, Acta Arith., 80 (1997), 289‐295.
*[5]K. Győry, On the diophantine equation n(n+1)...(n+k-1)=bxl, Acta Arith., 83 (1998), 87‐92.
*[6]K. Győry, Power values of products of consecutive integers and binomial coefficients, in: ,,Number Theory and Its Applications" Kluwer Acad. Publ., megjelenés alatt.
*[7]W. Narkiewicz, Classical Problems in Number Theory, Polish Scientific Publ., Warszawa, 1986.
*[8]T. N. Shorey and R. Tijdeman, Some methods of Erdős applied to finite arithmetic progressions, The Mathematics of Paul Erdős, I, 251‐267. Springer-Verlag, 1997.
*[9]R. Tijdeman, Diophantine equations and diophantine approximations, in: ,,Number Theory and Applications", Kluwer Acad. Publ. 1989, 215‐243.
 
Győry Kálmán