A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Régi, sokat vizsgált diofantikus problémák voltak a következők: egymás utáni egészek szorzata, illetve binomiális együttható mikor lehet teljes hatvány? Számos részeredmény után az első kérdést 1975-ben, a másodikat 1997-ben sikerült teljesen megválaszolni. A dolgozat első részében az első probléma történetének rövid áttekintését adjuk. A második részben részletesebben foglalkozunk a binomiális együtthatókkal kapcsolatos problémával és annak megoldásával. Végül a harmadik részben a két probléma egy közös általánosításáról és annak 1998-ban nyert megoldásáról számolunk be röviden.
1. Egymásra következő egész számok szorzata A számelmélet egyik híres kérdése volt, hogy lehet-e egymásra következő pozitív egész számok szorzata teljes hatvány. Más megfogalmazásban: mik az diofantikus egyenlet pozitív egész megoldásai a , , feltételek mellett? A esetben nyilván nincs megoldás. A probléma C. Goldbachig nyúlik vissza, aki 1724-ben egy D. Bernoullihoz írt levélben megjegyezte, hogy az (1) egyenletnek , esetén nincs megoldása. Valóban, ha volna ilyen megoldás, úgy a bal oldalt alakba írva az következne, hogy négyzetszám, ami nem lehetséges. Hasonló okoskodás alkalmazható a , esetre is. Az 1820-as évekből származik az a sejtés, hogy az (1) egyenletnek egyáltalán nincs megoldása. A sejtéssel már a múlt században is sokan foglalkoztak. Számos speciális eredmény született azokban az esetekben, amikor értéke ,,kicsi" és vagy . Az érdeklődő olvasó ezek ismertetését megtalálhatja L. E. Dickson ,,History of the Theory of Numbers" című könyvének II. kötetében, a 679‐680. oldalon (l. [1]). 1917-ben S. Narumi bebizonyította a sejtést a , értékekre, Szekeres György pedig a 30-as években megmutatta, hogy (1)-nek nincs olyan megoldása, melyre . 1939-ben Erdős Pál és O. Rigge egymástól függetlenül bebizonyították a sejtést -re. Bizonyításuk meglehetősen komplikált, szellemes elemi okoskodásokon alapult. Egyebek között felhasználták Sylvesternek azt a tételét, hogy ha egész számok, úgy Itt egy egész szám legnagyobb prímosztóját jelöli. 1940-ben Erdős Pál és C. L. Siegel közösen bebizonyították a sejtést minden elegendően nagy -ra. Bizonyításukban diofantikus approximációs módszereket használtak, de magát a bizonyítást soha nem publikálták. 1955-ben Erdős erre a tételre egy másik, elemi bizonyítást adott. Erdős módszerét továbbfejlesztve, végül 1975-ben Erdős és J. L. Selfridge a sejtést teljes általánosságban igazolták.
1. Tétel. (Erdős P. és J. L.Selfridge [2].) Az (1) egyenletnek nincs megoldása.
Érdekes megjegyezni, hogy a komplikált és igen szellemes elemi bizonyítás jelentős mennyiségű numerikus számítást is igényelt. A témakör részletesebb tárgyalását adja W. Narkiewicz ,,Classical problems in number theory" című könyvében (l. [7]).
2. Binomiális együtthatók Az (1) egyenlettel rokon diofantikus egyenlet ahol a megoldásokat a , , , tulajdonságú egész számok körében keressük. Itt az feltétel lényegében nem jelent megszorítást. Valóban, az összefüggést felhasználva, valamint -t és -et felcserélve a (2) egyenletre vonatkozó eredmények az esetre is alkalmazhatók. A esetben az egyenlet alakra hozható. Ekkor vagy | | ahol , pozitív egészek. Innen az Pell-egyenletekre jutunk, melyeknek végtelen sok , pozitív egész megoldásuk van. Így ebben az esetben (2)-nek is végtelen sok megoldása van. A , esetet páratlan -re A. J. J. Meyl (1878), páros -re G. N. Watson (1919) intézte el. Eredményeikből következik, hogy ebben az esetben (2) egyetlen megoldása , , azaz Erdős egy 1939-ben megjelent dolgozatában fogalmazta meg azt a sejtést, hogy esetén a (2) egyenletnek nincs megoldása. Ugyanebben a dolgozatban ezt az állítást az és a esetekben igazolta. Az , 5 eseteket Obláth Richárdnak sikerült elintéznie 1948-ban. Az (1) egyenletre korábban alkalmazott elemi módszere segítségével Erdős 1951-ben bebizonyította, hogy esetén a (2) egyenletnek nincs megoldása. A bizonyítás igen szép és szellemes, magyar nyelven is elérhető Erdős Pál és Surányi János ,,Válogatott fejezetek a számelméletből" című könyvében (l. [3]).
Az Erdős‐Surányi könyv 1960-ban jelent meg először. Élvezetes stílusa, bizonyításainak szépsége, a könyvben felvetett sok nyitott probléma rendkívül népszerűvé tették a könyvet a számelméletet kedvelők körében. A jelen dolgozat szerzője a könyv hatására kezdett a 60-as évek elején, egyetemista korában az Erdős-sejtés még nyitott , 3 esetével foglalkozni. Első publikációja is ezzel kapcsolatos eredményeket tartalmazott. Az Erdős‐Surányi könyv első kiadásának valamennyi példánya hamar elfogyott a könyvesboltokban. 1996-ban jelent meg a könyv második, kibővített kiadása (l. [3]). Ennek angol nyelvű változata sajtó alatt van a Springer kiadónál.
Visszakanyarodva az Erdős-sejtéshez, 1951 után nyitott maradt a és a eset. Kiderült, hogy Erdős elemi módszere a és 3 esetre nem alkalmazható. Érdekes megjegyezni, hogy míg az (1) egyenletben a és a esetek bizonyultak a legkönnyebbeknek, a (2) egyenletnél a helyzet ennek éppen az ellenkezője, a probléma 1996-ig ellenállt minden próbálkozásnak. Ám szóljunk néhány szót az előzményekről, amelyek később igen hasznosnak bizonyultak a sejtés teljes általánosságban való bizonyítása során. Erdős és Obláth eredményei következtében elég azzal az esettel foglalkozni, amikor (2)-ben vagy 3 és prímszám, amit a továbbiakban -ról és -ről fel is tételezünk. 1963-ban sikerült bebizonyítanom, hogy ha a (2) egyenlet esetén egy prímre nem megoldható, úgy -ra és a tekintett -re csak akkor lehet megoldható, ha Ez a kongruencia a kis Fermat-tétel szerint helyett minden prímre teljesül. Tudjuk viszont, hogy a -nál kisebb számok körében (3) csak az és az prímszámokra áll fenn. Így a nem túl nagy prímek esetén a esetet lényegében sikerült a esetre visszavezetni. R. Tijdeman 1976-ban az effektív Baker-módszer felhasználásával bebizonyította, hogy a (2) egyenletnek és esetén csak véges sok megoldása lehet, és ezek a megoldások elvileg meghatározhatók. Tijdeman bizonyítása egy olyan nagy felső korlátot szolgáltatott az , , ismeretlenekre, hogy a korlát alatti esetleges megoldásokat még a mai modern számítógépekkel sem lehetne megkeresni. A Baker-módszer egy élesebb változatát használva N. Terai 1994-ben bebizonyította, hogy a (2) egyenletnek a és 3 esetekben csak akkor lehet megoldása, ha . A sejtés teljes bizonyításához az egyébként igen hatékony, mély és széles körben alkalmazható Baker-módszer önmagában nem bizonyult elegendőnek. Ehhez szükség volt a általánosított Fermat-féle egyenlettel kapcsolatos néhány mély eredményre. Itt prímszám, egész szám, , , pedig -tól különböző, relatív prím egész ismeretlenek. Az olvasó számára bizonyára ismert, hogy Fermat híres sejtését A. Wiles amerikai matematikus 1995-ben bebizonyította, azaz megmutatta, hogy a (4) egyenletnek esetén nincs megoldása. Wiles (részben más matematikusok közreműködésével) egy nehéz és mély módszert dolgozott ki a Fermat-sejtés bizonyítására, amiről kiderült, hogy alkalmasan továbbfejlesztve bizonyos más, 1-nél nagyobb értékek esetén is sikerrel alkalmazható. H. Darmon és L. Merel egy 1997-ben megjelent dolgozatukban megmutatták, hogy a (4) egyenletnek esetén csak triviális megoldásai vannak, amelyekre teljesül. Bár Darmon ás Merel dolgozatukban nem foglalkoztak a (2) egyenletre vonatkozó Erdős-sejtéssel (talán nem is ismerték azt), eredményükből egyszerűen következik, hogy (2) a esetben nem megoldható. Valóban, ha (2)-nek mellett volna megoldása, úgy , vagy , , azaz következne alkalmas 1-nél nagyobb , egészekkel, ami a Darmon‐Merel tétel szerint nem lehetséges. Ezt követően sikerült az Erdős-sejtés bizonyításában az utolsó lépést megtenni, a esetet is elintézni. A fentiekből kitűnik, hogy ehhez tulajdonképpen már csupán egyetlen láncszem hiányzott, az eset. Ehhez segítséget nyújtott M. A. Bennett és B. M. M. de Weger egy 1997-ben publikált eredménye, mely szerint ha , , pozitív egészek, és vagy , akkor az egyenletnek legfeljebb egy pozitív egész , megoldása van. A fentieket felhasználva az 1997-ben megjelent [4] dolgozatomban megmutattam, hogy a (2) egyenletnek a és esetben nincs megoldása, azaz igaz a következő:
2. Tétel. (Erdős P., eset; H. Darmon és L. Merel, eset; Győry K., eset.) A esettől eltekintve a egyenlet egyetlen megoldása , azaz .
A 2. Tételt a fenti formában publikáltam a [4] dolgozatomban. Az eddigiekből világos, hogy a tétel a felsorolt matematikusok által nyert részeredmények együtteséből született. Erdős Pál rendszeres időközönként ellátogatott hozzánk Debrecenbe. Halála előtt tervezte, hogy 1996. október elején ismét meglátogat bennünket. A és esetekre a bizonyítást 1996 szeptemberében, Erdős Pál halála után pár nappal találtam. Úgy ismertük Őt, hogy biztosan örült volna a sejtése teljes bizonyításának. A [4] cikket az Ő emlékének dedikáltam. Darmon és Merel, valamint Bennett és de Weger cikkei 1996-ban még csak megjelenés alatt voltak, ám a szerzők voltak szívesek kézirataikból egy-egy példányt rendelkezésemre bocsátani. És itt jön egy érdekesség: a eset bizonyításához szükség volt a fentebb ismertetett, 1963-as eredményemre. Ezt az eredményt a külföldi kollégák nem ismerték. Gondolom azért, mert annak idején azt magyarul, a Matematikai Lapokban publikáltam. Emiatt az angol nyelvű [4] dolgozatomban a esetre egy részletes, teljes bizonyítást adtam, az 1963-as eredményem bizonyítását is beépítve. A eset bizonyításának főbb lépései a következők. Ha a és prím esetben (2) megoldható és , vagy , úgy könnyen belátható, hogy , illetve teljes -edik hatvány, ami a Darmon‐Merel tétel miatt nem lehet. Maradt a eset, amikor | | ahol és , egészek. Innen az diofantikus egyenletrendszerek adódnak. Itt szükség volt egy S. Lubelskitől és a jelen szerzőtől származó tételre, mely szerint a (4) egyenletből esetén (bizonyos technikai feltételek mellett) következik, hogy ha , , megoldás és (Lubelski, 1935) vagy (Győry, 1966), akkor szükségképpen teljesül a (3) kongruencia. Ennek bizonyításához mély algebrai számelméleti eszközökre volt szükség. Az említett eredmény felhasználásával be lehet bizonyítani, hogy az (5)-ben szereplő diofantikus egyenletrendszerek akármelyikének a megoldhatóságából következik a (3) kongruencia. Továbbá (5)-ből adódóan aminek megoldása. Ezért vagy esetén Bennett és de Weger tétele szerint további megoldás nem létezhet, azaz az (5) egyenletrendszerek a , feltételek mellett nem megoldhatók. A fennmaradó esetekben a (3) kongruencia nem teljesül, így készen vagyunk. Megjegyezzük, hogy itt használhattuk volna Terai eredményét is, ebben az esetben Bennett és de Weger tételét elég az esetre alkalmazni.
3. Az és egyenletek egy közös általánosítása Az (1) és (2) egyenletek közös általánosításaként tekintsük most a egyenletet, ahol , , , , valamennyien pozitív egész ismeretlenek és , , , -edik hatványmentes. Amennyiben , úgy ez éppen az (1) egyenlet, míg ha a -edik hatványmentes része, úgy a (2) egyenletet kapjuk. Azt a feltételt, hogy -edik hatványmentes, elejthetnénk. Viszont ezen feltétel mellett a (6) jobb oldalának alakban való felírása egyértelművé válik, ami később hasznosnak fog bizonyulni. A (6) egyenlettel és annak további általánosításaival (például a dolgozat végén szereplő (7) és (8) egyenletekkel) sokan, közöttük Erdős Pál, T. N. Shorey, R. Tijdeman, N. Saradha, Hajdú Lajos, Brindza Béla, Ruzsa Imre és a szerző foglalkoztak. Mint fentebb láttuk, a (6) egyenletnek a esetben végtelen sok megoldása van. Elég a (6) egyenlet azon megoldásaival foglalkozni, amelyekre . Valóban, adott -ra a (6) egyenletnek csak véges sok tulajdonságú megoldása van, és mindezek könnyen meghatározhatók. Jelöljük ugyanis -val a legkisebb olyan prímszámot, melyre . Sylvester fentebb idézett tételének következménye, hogy mellett akkor és csak akkor megoldása (6)-nak, ha . Tehát és így , , tényleg könnyen meghatározható. Vegyük észre, hogy minden -ra megoldása (6)-nak, mindig felírható alakban a kívánt tulajdonsággal.
Példa. Könnyen ellenőrizhető, hogy és . Ezért , 3 esetén (6) összes, tulajdonságú megoldásai: | | Az Erdős‐Selfridge tétel bizonyításának módszerét továbbfejlesztve N. Saradha egy 1997-ben megjelent dolgozatában bebizonyította, hogy esetén a (6) egyenletnek nincs olyan megoldása, amelyre . A bizonyítás a és 3 esetekre nem alkalmazható. A Wiles-módszer egy változatával K. A. Ribet 1997-ben megmutatta, hogy a (4) egyenletnek nincs megoldása, amennyiben a 2-nek 1-nél nagyobb és -nél kisebb kitevőjű hatványa. A Darmon‐Merel-tétel és a Ribet-tétel felhasználásával a szerzőnek [5] újabban sikerült Saradha eredményének megfelelőjét és -ra is igazolnia. A következő, [5]-ben ilyen formában publikált tétel a (6) egyenlet teljes megoldását szolgáltatja a feltétel mellett.
3. Tétel. (N. Saradha, eset; Győry K., eset). A esettől eltekintve , azaz a egyenlet egyetlen olyan megoldása, melyre Most megmutatjuk, hogy a 3. Tételből levezethető mind az 1. Tétel, mind pedig a 2. Tétel.
Először tekintsük az (1) egyenletet, s tegyük fel, hogy megoldása (1)-nek. A eset nyilván nem lehetséges. Továbbá a 3. Tétel miatt sem teljesülhet. Ha viszont , úgy Sylvester tétele szerint , azaz . Továbbá Csebisev tétele következtében létezik olyan prímszám, amelyre . Ebből következik, hogy -nek csupán az első hatványa lehet osztója -nek, ami (1) miatt nem lehetséges. Ezzel az 1. Tételt levezettük a 3. Tételből.
Ezután tekintsük a (2) egyenlet egy megoldását. A (2) egyenlet alakba írható, ahol a legnagyobb -edik hatványmentes osztója. Feltevés szerint , ezért Sylvester tételét alkalmazva adódik. Ekkor viszont a 2. Tétel már azonnal következik a 3. Tételből. Az (1), (2) és (6) egyenletek további általánosításai a | | egyenletek, ahol , , , , , pozitív egész ismeretlenek, , , , és . Mint említettük, ezekkel az egyenletekkel is sokan foglalkoztak, sok érdekes eredményt publikáltak. Ezekről az eredményekről az érdeklődő olvasó áttekintést nyerhet a [7], [9], [8], [6] munkákból. Azonban ellentétben az (1), (2) és (6) egyenletekkel, amelyeknek teljes megoldását ismerjük, a (7) és (8) egyenletekkel kapcsolatban eddig csupán részeredmények születtek.
* | [1]L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, 2. kiadás, Chelsea Publ. Comp., New York, 1971. |
* | [2]P. Erdős and J. L. Selfridge, The product of consecutive integers is never a power, Illinois J. Math. 19 (1975), 292‐301. |
* | [3]Erdős Pál és Surányi János, Válogatott fejezetek a számelméletből, Tankönyvkiadó Vállalat, Budapest, 1960. Második, kibővített kiadás: Polygon, Szeged, 1996. |
* | [4]K. Győry, On the diophantine equation , Acta Arith., 80 (1997), 289‐295. |
* | [5]K. Győry, On the diophantine equation , Acta Arith., 83 (1998), 87‐92. |
* | [6]K. Győry, Power values of products of consecutive integers and binomial coefficients, in: ,,Number Theory and Its Applications" Kluwer Acad. Publ., megjelenés alatt. |
* | [7]W. Narkiewicz, Classical Problems in Number Theory, Polish Scientific Publ., Warszawa, 1986. |
* | [8]T. N. Shorey and R. Tijdeman, Some methods of Erdős applied to finite arithmetic progressions, The Mathematics of Paul Erdős, I, 251‐267. Springer-Verlag, 1997. |
* | [9]R. Tijdeman, Diophantine equations and diophantine approximations, in: ,,Number Theory and Applications", Kluwer Acad. Publ. 1989, 215‐243. |
|