Cím: Megoldásvázlatok, eredmények az I. szakköri feladatokhoz (1999/8. sz.)
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1999/december, 515 - 516. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

 
1. Mindkét egyenletet rendezzük nullára, majd alakítsunk szorzattá.
(x-y)(x2+xy+y2-21)=0,(x+y)(x2-xy+y2-13)=0.
Ez az egyenletrendszer ekvivalens a következő négy egyenletrendszerrel:
(I)x-y=0,x+y=0;(II)x-y=0,x2-xy+y2=13;(III)x2+xy+y2=21,x+y=0;(IV)x2+xy+y2=21,x2-xy+y2=13.
Ezek megoldásai egyben az adott egyenletrendszer megoldásai is.
(I): x1=0, y1=0;
(II): x2=13, y2=13;  x3=-13, y3=-13;
(III): x4=21, y4=-21;  x5=-21, y5=21;
(IV): x6=1, y6=4;  x7=4, y7=1;  x8=-1, y8=-4;  x9=-4, y9=-1.
 
2. a) Mivel
sin(α+β)=2sinα+β2cosα+β2,továbbásinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2
és
cosα+β2-cosα-β2=(-2)sinαsinβ,
azért a feltételellel ekvivalens a következő egyenlet:
(sinα+β2)sinα2sinβ2=0.
A megoldások: α+β=2kπ, kZ;  α=2nπ, βR, nZ vagy αR, β=2mπ, mZ.
b) A megoldások: x=-π6+2kπ vagy x=2kπ, kZ.
 
3. Az igazolást vektorok alkalmazásával végezzük. Felhasználjuk, hogy egy vektornak önmagával való skaláris szorzata megegyezik a vektor hosszának négyzetével, azaz xx=x2=|x|2.
Legyen az ABCD négyszög D csúcsa az origó, DA=a, DB=b, DC=c. Ekkor AC=c-a, CB=b-c, BA=a-b.
Ezzel a jelöléssel az ABCD négyszög pontosan akkor paralelogramma, ha b=a+c.
Ha az ABCD négyszög paralelogramma, akkor b=a+c. Az oldalak négyzetének összege ekkor valóban megegyezik az átlók négyzetének összegével, hiszen
DA2+AB2+BC2+CD2=2a2+2c2,
az átlók négyzetének összegének összege pedig
DB2+CA2=b2+(a-c)2=(a+c)2+(a-c)2=2a2+2c2.

Ha az oldalak négyzetének összege megegyezik az átlók négyzetének összegével, akkor
a2+(b-a)2+(c-b)2+c2=b2+(a-c)2,
ahonnan
a2+b2+c2-2ab-2bc+2ac=0,(a+c-b)2=0,
ami csak úgy lehetséges, ha a+c-b=0, azaz b=a+c, tehát a négyszög valóban paralelogramma.
 
4. Felhasználjuk, hogy ha A>0, B>0, akkor A+B2AB, és az egyenlőség pontosan A=B esetén teljesül. Azonos átalakításokkal
x2+4x+4=x2-16+20x+4=x-4+20x+4=-8+(x+4+20x+4)-8+220=45-8,
hiszen x+4>0.
A függvény legkisebb értéke 45-8, amit akkor vesz fel, ha x+4=20x+4 (és x+4>0), azaz ha x=25-4.

Rábai Imre