A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Mindkét egyenletet rendezzük nullára, majd alakítsunk szorzattá. | | Ez az egyenletrendszer ekvivalens a következő négy egyenletrendszerrel: | | Ezek megoldásai egyben az adott egyenletrendszer megoldásai is. (I): , ; (II): , ; , ; (III): , ; , ; (IV): , ; , ; , ; , .
2. Mivel | | és | | azért a feltételellel ekvivalens a következő egyenlet: A megoldások: , ; , , vagy , , . A megoldások: vagy , .
3. Az igazolást vektorok alkalmazásával végezzük. Felhasználjuk, hogy egy vektornak önmagával való skaláris szorzata megegyezik a vektor hosszának négyzetével, azaz . Legyen az négyszög csúcsa az origó, , , . Ekkor , , . Ezzel a jelöléssel az négyszög pontosan akkor paralelogramma, ha . Ha az négyszög paralelogramma, akkor . Az oldalak négyzetének összege ekkor valóban megegyezik az átlók négyzetének összegével, hiszen az átlók négyzetének összegének összege pedig | |
Ha az oldalak négyzetének összege megegyezik az átlók négyzetének összegével, akkor | | ami csak úgy lehetséges, ha , azaz , tehát a négyszög valóban paralelogramma.
4. Felhasználjuk, hogy ha , , akkor , és az egyenlőség pontosan esetén teljesül. Azonos átalakításokkal | | hiszen . A függvény legkisebb értéke , amit akkor vesz fel, ha (és ), azaz ha .
|
|