Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények az I. szakköri feladatokhoz (1999/8. sz.)
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1999/december, 515 - 516. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Mindkét egyenletet rendezzük nullára, majd alakítsunk szorzattá. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2-21\right)}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2-13\right)}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Ez az egyenletrendszer ekvivalens a következő négy egyenletrendszerrel: $\begin{array}{c}{\displaystyle \begin{array}{cccc}\hfill \text{(I)}\hfill & \hfill x-y\hfill & \hfill =\hfill & \hfill \mathrm{0,}\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill x+y\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 0;\hfill \end{array}\begin{array}{cccc}\hfill \text{(II)}\hfill & \hfill x-y\hfill & \hfill =\hfill & \hfill \mathrm{0,}\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill x^2-xy+y^2\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 13;\hfill \end{array}\begin{array}{cccc}\hfill \text{(III)}\hfill & \hfill x^2+xy+y^2\hfill & \hfill =\hfill & \hfill \mathrm{21,}\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill x+y\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 0;\hfill \end{array}\begin{array}{cccc}\hfill \text{(IV)}\hfill & \hfill x^2+xy+y^2\hfill & \hfill =\hfill & \hfill \mathrm{21,}\hfill \\ \hfill \hfill & \hfill x^2-xy+y^2\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 13.\hfill \end{array}}\end{array}$ Ezek megoldásai egyben az adott egyenletrendszer megoldásai is. (I): $x_1=0$, $y_1=0$; (II): $x_2=\sqrt[]{13}$, $y_2=\sqrt[]{13}$;  $x_3=-\sqrt[]{13}$, $y_3=-\sqrt[]{13}$; (III): $x_4=\sqrt[]{21}$, $y_4=-\sqrt[]{21}$;  $x_5=-\sqrt[]{21}$, $y_5=\sqrt[]{21}$; (IV): $x_6=1$, $y_6=4$;  $x_7=4$, $y_7=1$;  $x_8=-1$, $y_8=-4$;  $x_9=-4$, $y_9=-1$.   2. $a)$ Mivel $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}\left(\alpha +\beta \right)=2\text{sin}\frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \text{cos}\frac{\alpha +\beta }{2}\mathrm{,}\text{továbbá}\text{sin}\alpha +\text{sin}\beta =2\text{sin}\frac{\alpha +\beta }{2}\cdot \text{cos}\frac{\alpha -\beta }{2}}\end{array}$ és $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\frac{\alpha +\beta }{2}-\text{cos}\frac{\alpha -\beta }{2}=\left(-2\right)\text{sin}\alpha \cdot \text{sin}\beta \mathrm{,}}\end{array}$ azért a feltételellel ekvivalens a következő egyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(\text{sin}\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cdot \text{sin}\frac{\alpha }{2}\cdot \text{sin}\frac{\beta }{2}=0.}\end{array}$ A megoldások: $\alpha +\beta =2k\pi$, $k\in \text{Z}$;  $\alpha =2n\pi$, $\beta \in \text{R}$, $n\in \text{Z}$ vagy $\alpha \in \text{R}$, $\beta =2m\pi$, $m\in \text{Z}$. $b)$ A megoldások: $x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ vagy $x=2k\pi$, $k\in \text{Z}$.   3. Az igazolást vektorok alkalmazásával végezzük. Felhasználjuk, hogy egy vektornak önmagával való skaláris szorzata megegyezik a vektor hosszának négyzetével, azaz $\text{x}\cdot \text{x}={\text{x}}^2=|\text{x}{|}^2$. Legyen az $ABCD$ négyszög $D$ csúcsa az origó, $\overrightarrow{DA}=\text{a}$, $\overrightarrow{DB}=\text{b}$, $\overrightarrow{DC}=\text{c}$. Ekkor $\overrightarrow{AC}=\text{c}-\text{a}$, $\overrightarrow{CB}=\text{b}-\text{c}$, $\overrightarrow{BA}=\text{a}-\text{b}$. Ezzel a jelöléssel az $ABCD$ négyszög pontosan akkor paralelogramma, ha $\text{b}=\text{a}+\text{c}$. Ha az $ABCD$ négyszög paralelogramma, akkor $\text{b}=\text{a}+\text{c}$. Az oldalak négyzetének összege ekkor valóban megegyezik az átlók négyzetének összegével, hiszen $\begin{array}{c}{\displaystyle D{A}^2+A{B}^2+B{C}^2+C{D}^2=2{\text{a}}^2+2{\text{c}}^2\mathrm{,}}\end{array}$ az átlók négyzetének összegének összege pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle D{B}^2+C{A}^2={\text{b}}^2+{\left(\text{a}-\text{c}\right)}^2={\left(\text{a}+\text{c}\right)}^2+{\left(\text{a}-\text{c}\right)}^2=2{\text{a}}^2+2{\text{c}}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ha az oldalak négyzetének összege megegyezik az átlók négyzetének összegével, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle {\text{a}}^2+{\left(\text{b}-\text{a}\right)}^2+{\left(\text{c}-\text{b}\right)}^2+{\text{c}}^2={\text{b}}^2+{\left(\text{a}-\text{c}\right)}^2\mathrm{,}}\\ \multicolumn{2}{c}{\text{<br>ahonnan}}\\ \hfill {\displaystyle {\text{a}}^2+{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-2\text{a}\text{b}-2\text{b}\text{c}+2\text{a}\text{c}=\text{0}\mathrm{,}}\\ \hfill {\displaystyle {\left(\text{a}+\text{c}-\text{b}\right)}^2=\text{0}\mathrm{,}}\end{array}}}\end{array}$ ami csak úgy lehetséges, ha $\text{a}+\text{c}-\text{b}=\text{0}$, azaz $\text{b}=\text{a}+\text{c}$, tehát a négyszög valóban paralelogramma.   4. Felhasználjuk, hogy ha $A>0$, $B>0$, akkor $A+B\ge 2\sqrt[]{AB}$, és az egyenlőség pontosan $A=B$ esetén teljesül. Azonos átalakításokkal $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x^2+4}{x+4}=\frac{x^2-16+20}{x+4}=x-4+\frac{20}{x+4}=-8+\left(x+4+\frac{20}{x+4}\right)\ge -8+2\sqrt[]{20}=4\sqrt[]{5}-\mathrm{8,}}\end{array}$ hiszen $x+4>0$. A függvény legkisebb értéke $4\sqrt[]{5}-8$, amit akkor vesz fel, ha $x+4=\frac{20}{x+4}$ (és $x+4>0$), azaz ha $x=2\sqrt[]{5}-4$. Rábai Imre