Cím: A VIII. Nemzetközi Magyar Matematikai Verseny feladatai
Füzet: 1999/október, 395 - 397. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

9. évfolyam

 
1. Milyen p és q prímszámokra teljesül a
3(p2-q)=q2-p
egyenlet? Oláh György (Komárom)
 
2. Az ABC háromszögben AC=BC és ABC=BAC=40. A BAC szög szögfelezője a BC oldalt a D pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy AD+DC=AB.
 Szabó Magda (Szabadka)

 
3. Az ABCD érintőnégyszög (A és C átellenes csúcsok) beírt körének középpontja O, sugara r. Az ABO és a CDO háromszögek köré írt körének sugara r1, illetve r2. Bizonyítsuk be, hogy r nem lehet nagyobb r1-nél is és r2-nél is. Kántor Sándor (Debrecen)
 
4. A valós számok halmazában értelmezett műveletre (amelynél bármely x, yR esetén xyR) minden x, y, z valós szám esetén teljesülnek a következő tulajdonságok:
xy=yx,(xy)z=(xz)(yz),(xy)+z=(x+z)(y+z).
Mennyi 19992000?  Kántor Sándorné (Debrecen)
 
5. Egy téglalap oldalai 37 és 54 egységnyiek. Vegyünk fel a téglalapon (a belsejében vagy a kerületén) 1999 pontot. Bizonyítsuk be, hogy a pontok bármilyen választása esetén lesz közöttük legalább három, amely lefedhető egy 94 átmérőjű körlappal.  Benedek Ilona (Vác)
 
6. Adottak az x1, x2, ..., xn valós számok úgy, hogy 1xin2 (i=1, 2, ..., n) és 1i<jn esetén xj-xij+i. Határozzuk meg az x1, x2, ..., xn számokat.
 Bencze Mihály (Brassó)

 

10. évfolyam
 
1. Bizonyítsuk be, hogy
19971999+19991997
osztható 3996-tal.  Benedek Ilona (Vác)
 
2. Az ABCD trapéz csúcsai egy körre illeszkednek. A trapéz AD és BC szárainak meghosszabbításai az M pontban metszik egymást. A körhöz a B, illetve D pontokban húzott érintők metszéspontja N. Bizonyítsuk be, hogy MNAB.  Neubauer Ferenc (Munkács)
 
3. Határozzuk meg az m valós paraméternek azokat az értékeit, amelyekre a
9mx(3x-1)(3x-2)(x-1)=1
egyenletnek négy (nem feltétlenül különböző) valós gyöke van.  Péter András (Arad)
 
4. Adott az ABC egyenlő oldalú háromszög belsejében a P pont úgy, hogy PA=6, PB=8, PC=12. Határozzuk meg az ABC háromszög területét. Kántor Sándorné (Debrecen)
 
5. Legyenek x>0, y>0, z>0 valós számok. Határozzuk meg az
x,y+1z,z+1xés1y
számok legkisebbikének lehető legnagyobb értékét.  András Szilárd (Kolozsvár)
 
6. Hány részre osztják fel a síkot egy 1999 oldalú szabályos sokszög oldalegyenesei?
 Oláh György (Komárom)

 

11. évfolyam
 
1. Melyik az a háromjegyű szám, amelynek négyzete is és köbe is ugyanezzel a háromjegyű számmal végződik?  Bogdán Zoltán (Cegléd)
 
2. Tekintsük az összes olyan P(x;y) pontot, amelynek koordinátáira
x2y2+x2-10xy-8x+16=0
teljesül. Milyen értékeket vehet fel az xy szorzat?  Kántor Sándorné (Debrecen)
 
3. Határozzuk meg az összes olyan valós együtthatós p(x) polinomot, amelyre minden valós x esetén teljesül az
xp(x)p(1-x)+x3+1000
egyenlőtlenség.  Erdős Gábor (Nagykanizsa)
 
4. Legyen S az ABC hegyesszögű háromszög súlypontja és r a háromszög köré írt kör sugara. Bizonyítsuk be, hogy
AS2+BS2+CS2>8r23.Oláh György (Komárom)

 
5. Bizonyítsuk be, hogy ha egy tetraéder súlypontja mind a négy csúcstól egyenlő távolságra van, akkor bármely két szemközti élpár felezőpontjait összekötő szakasz merőleges mindkét élre.
 Kiss Sándor (Nyíregyháza)

 
6. Igazoljuk, hogy ha x1, x2, ..., xn (n3) különböző pozitív egész számok, akkor
1x13+...+1xn3<118-12n(n-1).Bencze Mihály (Brassó)

 

12. évfolyam
 
1. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra igaz, hogy PAB=PBC=PCA. Mivel egyenlő a PAB szög tangensének értéke, ha AB=13, BC=14 és AC=15?
 Kiss Sándor (Nyíregyháza)

 
2. Egy minden valós számra értelmezett f függvény minden x és y értékre kielégíti a következő egyenlőtlenségeket:
f(x)x,f(x+y)f(x)+f(y).
Bizonyítsuk be, hogy minden x valós számra f(x)=x.  Kántor Sándorné (Debrecen)
 
3. Oldjuk meg a következő egyenletet, ha x és y egész számok:
x3-23x2-23y2+y2x+2x=1849.Bíró Bálint (Eger)

 
4. Legyen A a tízes számrendszerben felírt 19971999 szám számjegyeinek az összege, B pedig az A számjegyeinek az összege. Számítsuk ki B számjegyeinek összegét.
 Boros Zoltán (Debrecen)

 
5. Bizonyítsuk be, hogy ha az ABC háromszög hegyesszögű, akkor létezik olyan P pont a térben, amelyből az ABC háromszög bármely csúcsát a szemközti oldalegyenes bármely pontjával összekötő szakasz derékszögben látszik.  Kántor Sándor (Debrecen)
 
6. Legyenek a>0 és b>0 adott valós számok, valamint
f(x,y,z)=max{ax+by,ay+bz,az+bx}(x>0,y>0,z>0).
Igazoljuk, hogy az f függvénynek van minimuma, és határozzuk meg ezt a minimumot.
 Szász Róbert és Dáné Károly (Marosvásárhely)