Cím: A VIII. Nemzetközi Magyar Matematikai Verseny feladatai
Füzet: 1999/október, 395 - 397. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

9. évfolyam

 
1. Milyen p és q prímszámokra teljesül a
3(p2-q)=q2-p
egyenlet? Oláh György (Komárom)
 
2. Az ABC háromszögben AC=BC és ABC∢=BAC∢=40∘. A BAC szög szögfelezője a BC oldalt a D pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy AD+DC=AB.
 Szabó Magda (Szabadka)

 
3. Az ABCD érintőnégyszög (A és C átellenes csúcsok) beírt körének középpontja O, sugara r. Az ABO és a CDO háromszögek köré írt körének sugara r1, illetve r2. Bizonyítsuk be, hogy r nem lehet nagyobb r1-nél is és r2-nél is. Kántor Sándor (Debrecen)
 
4. A valós számok halmazában értelmezett ∘ műveletre (amelynél bármely x, y∈R esetén x∘y∈R) minden x, y, z valós szám esetén teljesülnek a következő tulajdonságok:
x∘y=y∘x,(x∘y)z=(xz)∘(yz),(x∘y)+z=(x+z)∘(y+z).
Mennyi 1999∘2000?  Kántor Sándorné (Debrecen)
 
5. Egy téglalap oldalai 37 és 54 egységnyiek. Vegyünk fel a téglalapon (a belsejében vagy a kerületén) 1999 pontot. Bizonyítsuk be, hogy a pontok bármilyen választása esetén lesz közöttük legalább három, amely lefedhető egy 94 átmérőjű körlappal.  Benedek Ilona (Vác)
 
6. Adottak az x1, x2, ..., xn valós számok úgy, hogy 1≤xi≤n2 (i=1, 2, ..., n) és 1≤i<j≤n esetén xj-xi≥j+i. Határozzuk meg az x1, x2, ..., xn számokat.
 Bencze Mihály (Brassó)

 

10. évfolyam
 
1. Bizonyítsuk be, hogy
19971999+19991997
osztható 3996-tal.  Benedek Ilona (Vác)
 
2. Az ABCD trapéz csúcsai egy körre illeszkednek. A trapéz AD és BC szárainak meghosszabbításai az M pontban metszik egymást. A körhöz a B, illetve D pontokban húzott érintők metszéspontja N. Bizonyítsuk be, hogy MN‖AB.  Neubauer Ferenc (Munkács)
 
3. Határozzuk meg az m valós paraméternek azokat az értékeit, amelyekre a
9mx(3x-1)(3x-2)(x-1)=1
egyenletnek négy (nem feltétlenül különböző) valós gyöke van.  Péter András (Arad)
 
4. Adott az ABC egyenlő oldalú háromszög belsejében a P pont úgy, hogy PA=6, PB=8, PC=12. Határozzuk meg az ABC háromszög területét. Kántor Sándorné (Debrecen)
 
5. Legyenek x>0, y>0, z>0 valós számok. Határozzuk meg az
x,y+1z,z+1xés1y
számok legkisebbikének lehető legnagyobb értékét.  András Szilárd (Kolozsvár)
 
6. Hány részre osztják fel a síkot egy 1999 oldalú szabályos sokszög oldalegyenesei?
 Oláh György (Komárom)

 

11. évfolyam
 
1. Melyik az a háromjegyű szám, amelynek négyzete is és köbe is ugyanezzel a háromjegyű számmal végződik?  Bogdán Zoltán (Cegléd)
 
2. Tekintsük az összes olyan P(x;y) pontot, amelynek koordinátáira
x2y2+x2-10xy-8x+16=0
teljesül. Milyen értékeket vehet fel az xy szorzat?  Kántor Sándorné (Debrecen)
 
3. Határozzuk meg az összes olyan valós együtthatós p(x) polinomot, amelyre minden valós x esetén teljesül az
x⋅p(x)⋅p(1-x)+x3+100≥0
egyenlőtlenség.  Erdős Gábor (Nagykanizsa)
 
4. Legyen S az ABC hegyesszögű háromszög súlypontja és r a háromszög köré írt kör sugara. Bizonyítsuk be, hogy
AS2+BS2+CS2>8r23.Oláh György (Komárom)

 
5. Bizonyítsuk be, hogy ha egy tetraéder súlypontja mind a négy csúcstól egyenlő távolságra van, akkor bármely két szemközti élpár felezőpontjait összekötő szakasz merőleges mindkét élre.
 Kiss Sándor (Nyíregyháza)

 
6. Igazoljuk, hogy ha x1, x2, ..., xn (n≥3) különböző pozitív egész számok, akkor
1x13+...+1xn3<118-12n(n-1).Bencze Mihály (Brassó)

 

12. évfolyam
 
1. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra igaz, hogy PAB∢=PBC∢=PCA∢. Mivel egyenlő a PAB szög tangensének értéke, ha AB=13, BC=14 és AC=15?
 Kiss Sándor (Nyíregyháza)

 
2. Egy minden valós számra értelmezett f függvény minden x és y értékre kielégíti a következő egyenlőtlenségeket:
f(x)≤x,f(x+y)≤f(x)+f(y).
Bizonyítsuk be, hogy minden x valós számra f(x)=x.  Kántor Sándorné (Debrecen)
 
3. Oldjuk meg a következő egyenletet, ha x és y egész számok:
x3-23x2-23y2+y2x+2x=1849.Bíró Bálint (Eger)

 
4. Legyen A a tízes számrendszerben felírt 19971999 szám számjegyeinek az összege, B pedig az A számjegyeinek az összege. Számítsuk ki B számjegyeinek összegét.
 Boros Zoltán (Debrecen)

 
5. Bizonyítsuk be, hogy ha az ABC háromszög hegyesszögű, akkor létezik olyan P pont a térben, amelyből az ABC háromszög bármely csúcsát a szemközti oldalegyenes bármely pontjával összekötő szakasz derékszögben látszik.  Kántor Sándor (Debrecen)
 
6. Legyenek a>0 és b>0 adott valós számok, valamint
f(x,y,z)=max{ax+by,ay+bz,az+bx}(x>0,y>0,z>0).
Igazoljuk, hogy az f függvénynek van minimuma, és határozzuk meg ezt a minimumot.
 Szász Róbert és Dáné Károly (Marosvásárhely)