Cím: A 40. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai
Füzet: 1999/szeptember, 324. oldal  PDF file
Témakör(ök): Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
 
Első nap
 
 

 
1. Határozzuk meg az összes olyan, legalább három pontot tartalmazó síkbeli véges S ponthalmazt, amire az alábbi feltétel teljesül:

S bármely két különböző A, B pontjára az AB szakasz felezőmerőlegese szimmetriatengelye az S halmaznak.

 
2. Legyen n egy adott egész szám, amire n2.
*(a) Határozzuk meg a legkisebb olyan C konstanst, amire a
1i<jnxixj(xi2+xj2)C(1inxi)4
egyenlőtlenség minden x1,...,xn0 valós szám esetén teljesül.
*(b) Határozzuk meg, hogy ezen C konstans mellett mikor áll fenn egyenlőség.
 
3. Tekintsünk egy n×n-es négyzetalakú táblát, ahol n rögzített páros pozitív egész. A tábla n2 egységnégyzetre van felosztva. Azt mondjuk, hogy a tábla két különböző négyzete szomszédos, ha van egy közös oldaluk.

A táblán N egységnégyzet meg van jelölve olymódon, hogy minden négyzet (jelölt, vagy nem jelölt) szomszédos legalább egy jelölt négyzettel.

Határozzuk meg N lehetséges legkisebb értékét.
 
 
Második nap
 
 

 
4. Határozzuk meg az összes olyan, pozitív egészekből álló (n,p) párt, hogy p prím, n2p, és (p-1)n+1 osztható np-1-gyel.
 
5. A Γ1 és Γ2 körök a Γ kör belsejében vannak és érintik a Γ kört a különböző M, ill. N pontokban.
Γ1 átmegy a Γ2 kör középpontján. A Γ1 és Γ2 körök két metszéspontján átmenő egyenes a Γ kört az A és B pontokban metszi. Az MA és MB egyenesek Γ1-et a C, ill. D pontokban metszik.
Bizonyítsuk be, hogy CD érintője a Γ2 körnek.
 
6. Határozzuk meg az összes olyan f:RR függvényt, amelyre
f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1
teljesül minden x,yR esetén.