Cím:	A 40. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai
Füzet:	1999/szeptember, 324. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Első nap       1. Határozzuk meg az összes olyan, legalább három pontot tartalmazó síkbeli véges $S$ ponthalmazt, amire az alábbi feltétel teljesül: $S$ bármely két különböző $A$, $B$ pontjára az $AB$ szakasz felezőmerőlegese szimmetriatengelye az $S$ halmaznak.   2. Legyen $n$ egy adott egész szám, amire $n\ge 2$. * (a) Határozzuk meg a legkisebb olyan $C$ konstanst, amire a $\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{1\le i<j\le n}^{}{x}_i{x}_j\left(x_i^2+x_j^2\right)\le C{\left(\sum _{1\le i\le n}^{}{x}_i\right)}^4}\end{array}$ egyenlőtlenség minden $x_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_n\ge 0$ valós szám esetén teljesül. * (b) Határozzuk meg, hogy ezen $C$ konstans mellett mikor áll fenn egyenlőség.   3. Tekintsünk egy $n\times n$-es négyzetalakú táblát, ahol $n$ rögzített páros pozitív egész. A tábla $n^2$ egységnégyzetre van felosztva. Azt mondjuk, hogy a tábla két különböző négyzete szomszédos, ha van egy közös oldaluk. A táblán $N$ egységnégyzet meg van jelölve olymódon, hogy minden négyzet (jelölt, vagy nem jelölt) szomszédos legalább egy jelölt négyzettel. Határozzuk meg $N$ lehetséges legkisebb értékét.     Második nap       4. Határozzuk meg az összes olyan, pozitív egészekből álló $\left(n\mathrm{,}p\right)$ párt, hogy $p$ prím, $n\le 2p$, és ${\left(p-1\right)}^n+1$ osztható $n^{p-1}$-gyel.   5. A ${\Gamma }_1$ és ${\Gamma }_2$ körök a $\Gamma$ kör belsejében vannak és érintik a $\Gamma$ kört a különböző $M$, ill. $N$ pontokban. ${\Gamma }_1$ átmegy a ${\Gamma }_2$ kör középpontján. A ${\Gamma }_1$ és ${\Gamma }_2$ körök két metszéspontján átmenő egyenes a $\Gamma$ kört az $A$ és $B$ pontokban metszi. Az $MA$ és $MB$ egyenesek ${\Gamma }_1$-et a $C$, ill. $D$ pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy $CD$ érintője a ${\Gamma }_2$ körnek.   6. Határozzuk meg az összes olyan $f:\text{R}\to \text{R}$ függvényt, amelyre $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x-f\left(y\right)\right)=f\left(f\left(y\right)\right)+xf\left(y\right)+f\left(x\right)-1}\end{array}$ teljesül minden $x\mathrm{,}y\in \text{R}$ esetén.