Cím: Novemberi szakköri feladatok
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1998/november, 481. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

*Ezt a feladatsort szakköri feldolgozásra ajánljuk.
Pogány János, a budapesti Piarista gimnázium kiváló matematika tanára emlékére.
 
1. Állapítsa meg, hogy az m valós paraméter mely értékeire lesznek a
2x2+2(m+1)x+m2+2m=0
egyenlet gyökei valósak, és állapítsa meg ezekre az m értékekre az
f(m)=x1+x2+4x1x2
kifejezés legnagyobb és legkisebb értékét, ahol x1 és x2 az adott egyenlet megoldásai.
 
2. a) Igazolja, hogy minden háromszögben
ϱr=abc4s,
ahol a, b, c a háromszög oldalai, a+b+c=2s, ϱ a háromszögbe, r a háromszög köré írt kör sugara.
b) Tekintsük azokat a háromszögeket, amelyekben az egyik oldal hossza 2 egység, a másik két oldal összege 4 egység. Határozza meg a háromszögbe és a háromszög köré írható körök területei szorzatának a legnagyobb értékét.
 
3. Igazolja, hogy az
f(x)=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2(a10,a20;a2x2+b2x+c20)
kifejezés értéke pontosan akkor (akkor és csak akkor) állandó (azaz értéke független x-től), ha van olyan kR, hogy a1=ka2, b1=kb2, c1=kc2.
 
4. Az (an) (nN+) sorozatban a1=1, a2=2 és n3 esetén an=2an-2-an-1.
Írja fel an-et, majd Sn-et (Sn=a1+a2+...+an) n függvényeként.
 

Rábai Imre

**