Kezdőlap


Cím:	Novemberi szakköri feladatok
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1998/november, 481. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

^{$^{*}$}Ezt a feladatsort szakköri feldolgozásra ajánljuk.
Pogány János, a budapesti Piarista gimnázium kiváló matematika tanára emlékére.

1. Állapítsa meg, hogy az

m

valós paraméter mely értékeire lesznek a

\begin{matrix} 2 x^{2} + 2 (m + 1) x + m^{2} + 2 m = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei valósak, és állapítsa meg ezekre az

m

értékekre az

\begin{matrix} f (m) = x_{1} + x_{2} + 4 x_{1} x_{2} \end{matrix}

kifejezés legnagyobb és legkisebb értékét, ahol

x_{1}

és

x_{2}

az adott egyenlet megoldásai.

2. a) Igazolja, hogy minden háromszögben

\begin{matrix} ϱ \cdot r = \frac{a b c}{4 s}, \end{matrix}

ahol

a

b

c

a háromszög oldalai,

a + b + c = 2 s

ϱ

a háromszögbe,

r

a háromszög köré írt kör sugara.
b) Tekintsük azokat a háromszögeket, amelyekben az egyik oldal hossza 2 egység, a másik két oldal összege 4 egység. Határozza meg a háromszögbe és a háromszög köré írható körök területei szorzatának a legnagyobb értékét.

3. Igazolja, hogy az

\begin{matrix} f (x) = \frac{a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}}{a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}} (a_{1} \neq 0, a_{2} \neq 0; a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2} \neq 0) \end{matrix}

kifejezés értéke pontosan akkor (akkor és csak akkor) állandó (azaz értéke független

x

-től), ha van olyan

k \in R

, hogy

a_{1} = k a_{2}

b_{1} = k b_{2}

c_{1} = k c_{2}

4. Az

(a_{n})

(

n \in N^{+}

) sorozatban

a_{1} = 1

a_{2} = 2

és

n \geq 3

esetén

a_{n} = 2 a_{n - 2} - a_{n - 1}

.
Írja fel

a_{n}

-et, majd

S_{n}

-et (

S_{n} = a_{1} + a_{2} + ... + a_{n})

n

függvényeként.

Rábai Imre

^{$^{*}$}*