Cím: A januári szakköri feladatok megoldásvázlatai, eredményei
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1998/március, 140 - 141. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

 
1. Ismeretes, hogy ha A>0 és B>0, akkor A+B2AB. Ezt alkalmazva
abc+bca2ab2cac=2b,bca+cab2céscab+abc2a.
Így
abc+bca+cab=12(abc+bca)+12(bca+cab)+12(cab+abc)12(2b+2c+2a)=a+b+c.
Az egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a=b=c.
 
2. a) Az állítás teljes indukcióval igazolható. Ha n=1, akkor igaz az állítás, mert S1=12=10+(3-5)22=2. Tegyük fel, hogy n-re igaz, azaz Sn=10+(3n-5)2n+1. Be kell látnunk, hogy (n+1)-re is igaz, azaz hogy
Sn+1=10+(3(n+1)-5)2n+2=10+(6n-4)2n+1.
Ez is fennáll, hiszen
Sn+1=Sn+(3(n+1)-2)2n+1=10+(3n-5)2n+1+(3(n+1)-2)2n+1=10+(6n-4)2n+1.
Így az állítást igazoltuk.
b) Észrevehető, hogy Sn' k-adik tagja 2k-nal nagyobb az Sn k-adik tagjánál. Ezért
Sn'=Sn+(2+22+23+...+2n)=Sn+2(2n-1)=8+(3n-4)2n+1.

 
3. a) Ismeretes, hogy a háromszög területe T=12absinγ és c=2rsinγ, tehát T=abc4r, azaz r=abc4T.
Mivel ϱ=Ts, ahol s=12(a+b+c), azért ha ac=6rϱ, akkor ac=6abc4TTs=3abca+b+c, amiből a+b+c=3b, a+c=2b, a-b=b-c, azaz a, b, c valóban egy számtani sorozat három szomszédos eleme.
b) Legyen a, b, c egy számtani sorozat három szomszédos eleme. Ekkor a+c=2b, ezért
6rϱ=6abc2T2Ta+b+c=3abc3b=ac.

 
4. a) Legyen AB=a, BC=b, CD=c és DA=d. Világos, hogy a+b+c+d=0.
ABCD+BCAD+CABD=ac+b(-d)+(c+d)(b+c)=ac-bd+bc+c2+bd+cd=c(a+b+c+d)=0.

b) A feltétel szerint ABCD és ADBC, ezért skaláris szorzatuk nulla, azaz ac=0, és hasonlóan (-d)b=0.
Azt kell belátni, hogy CABD. Mivel CA=c+d és BD=b+c, ezért elegendő belátni, hogy (c+d)(b+d)=0. Ez pedig teljesül, mert
(c+d)(b+c)=cb+c2+db+dc=c(b+c+d)=c(-a)=0,
hiszen db=0, b+c+d=-a és ca=0.
c) A b) feltétele szerint, ha a D pont rajta van a C-ből és az A-ból induló magasságvonalon, akkor a bizonyított állítás szerint rajta van a B-ből induló magasságvonalon is, tehát az ABC háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást.
Rábai Imre