A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Ismeretes, hogy ha és , akkor . Ezt alkalmazva | | Így | | Az egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha .
2. a) Az állítás teljes indukcióval igazolható. Ha , akkor igaz az állítás, mert . Tegyük fel, hogy -re igaz, azaz . Be kell látnunk, hogy -re is igaz, azaz hogy | | Ez is fennáll, hiszen | | Így az állítást igazoltuk. b) Észrevehető, hogy -adik tagja -nal nagyobb az -adik tagjánál. Ezért | |
3. a) Ismeretes, hogy a háromszög területe és , tehát , azaz . Mivel , ahol , azért ha , akkor , amiből , , , azaz , , valóban egy számtani sorozat három szomszédos eleme. b) Legyen , , egy számtani sorozat három szomszédos eleme. Ekkor , ezért | |
4. a) Legyen , , és . Világos, hogy . | |
b) A feltétel szerint és , ezért skaláris szorzatuk nulla, azaz , és hasonlóan . Azt kell belátni, hogy . Mivel és , ezért elegendő belátni, hogy . Ez pedig teljesül, mert | | hiszen , és . c) A b) feltétele szerint, ha a pont rajta van a -ből és az -ból induló magasságvonalon, akkor a bizonyított állítás szerint rajta van a -ből induló magasságvonalon is, tehát az háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást.
|
|