Cím: Megoldásvázlatok, eredmények a III. mérőlap feladataihoz
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1997/február, 74. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

 
1. Azonos átalakításokkal és rendezéssel kaphatjuk a következő egyenleteket:
a) (92)x=(92)32 b) (92)x=922.

Az exponenciális függvények szigorú monotonitása miatt a megoldások x=32, illetve x=log92922.
 
2. Jelölje a a sorozat harmadik tagját, d a sorozat differenciáját. A feltételek alkalmazásával
(a-2d)(a-d)=3és(a+2d)(a+d)=63.
A két egyenlet kivonásából, majd összeadásából kapjuk, hogy ad=10 és a2+2d2=33.
Helyettesítő módszerrel a4-33a2+200=0 (vagy 2d2-33d2+100=0), a2=25 vagy a2=8.
Ha a=5, akkor d=2 és a1=1, ha a=-5, akkor d=-2, a1=-1, ha a=22, akkor d=522, a1=-32, ha pedig a=-22, akkor d=-522, a1=32.
 
3. Ha sin(α-β)=0, akkor α-β=kπ, kZ, így β=α-kπ, 2β=2α-2kπ, tehát 2β-α=α-2kπ. Innen sin(2β-α)=sin(α-2kπ)=sinα.
 
4. Az egyenlet diszkriminánsa (m0), D=4(m+1)2, így az egyenlet egyik gyöke x1=-2<3, az egyenlet másik gyöke, x2=2m, nagyobb kell legyen 3-nál, így m>0, 2m>3, amiből 0<m<23.
 
5. A feladat sokféle módon megoldható. Egy lehetőség: Jelölje a két befogó hosszát a, illetve b. Mivel az átfogó 410 egység, azért a2+b2=160. Ahol a szögfelező metszi az átfogót, azon a ponton át az a hosszúságú befogóval (egyik befogóval) húzzunk párhuzamost. Ez a háromszögből hozzá hasonló háromszöget vág le. A megfelelő befogók arányából
322a=b-3b,3(a+b)=ab.
Mivel a2+b2=(a+b)2-2ab, azért
(a+b)2-6(a+b)-160=0.
a>0, b>0 miatt a+b=16 és ab=48, tehát a két befogó hossza 4, illetve 12 egység.
 
6. A körök közös AB húrjának felező merőlegese (egyenlete x+y=9) és az adott egyenes metszéspontja C1(25;-16) az egyik kör középpontja. Ennek az AB húr F(5;4) felezőpontjára való tükörképe, C2(-15;24) a másik kör középpontja. A körök egyenlete: (x-25)2+(y+16)2=222+182, illetve (x+15)2+(y-24)2=222+182.
 
7. Azonos átalakításokkal
(x+2cosxy)2+4sin2xy=0,
ami pontosan akkor teljesül, ha x+2cosxy=0 és sinxy=0. Ha xy=2kπ, kZ, akkor cosxy=1, tehát xk=-2, yk=-kπ; ha xy=π+2kπ, kZ, akkor cosxy=-1, tehát xk=2, yk=π2+kπ. (A feladat természetesen más módszerekkel is megoldható.)
 
8. Vegyük figyelembe, hogy
|x2-6x|={x2-6x,ha  3-10x0  vagy  6x7,
 
-x2+6x,ha  0<x<6,
és
|x2-6x+8|={x2-6x+8,ha  3-10x2  vagy  4x7,
 
-x2+6x-8,ha  2<x<4.
Ha 3-10x0, akkor f(x)=2(x-3)2-10, a legnagyobb értéke 10, a legkisebb értéke 8.

Ha 0<x<2, akkor f(x)=8.

Ha 2x4, akkor f(x)=-2(x-3)2+10, a legnagyobb értéke 10, a legkisebb értéke 8.

Ha 4<x<6, akkor f(x)=8.

Ha 6x7, akkor f(x)=2(x-3)2-10, a legnagyobb értéke 22, a legkisebb értéke 8.
A függvény legnagyobb értéke 22, amit az x=7 helyen vesz fel, a legkisebb értéke 8, amit akkor vesz fel, ha 0x2 vagy 4x6.

Rábai Imre