Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények a III. mérőlap feladataihoz
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1997/február, 74. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Azonos átalakításokkal és rendezéssel kaphatjuk a következő egyenleteket: a) ${\left(\frac{9}{2}\right)}^x={\left(\frac{9}{2}\right)}^{\frac{3}{2}}$ b) ${\left(\frac{9}{2}\right)}^x=\frac{9}{2\sqrt[]{2}}$. Az exponenciális függvények szigorú monotonitása miatt a megoldások $x=\frac{3}{2}$, illetve $x=\text{log}{}_{\frac{9}{2}}\frac{9}{2\sqrt[]{2}}$.   2. Jelölje $a$ a sorozat harmadik tagját, $d$ a sorozat differenciáját. A feltételek alkalmazásával $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(a-2d\right)\left(a-d\right)=3\text{és}\left(a+2d\right)\left(a+d\right)=63.}\end{array}$ A két egyenlet kivonásából, majd összeadásából kapjuk, hogy $ad=10$ és $a^2+2d^2=33$. Helyettesítő módszerrel $a^4-33a^2+200=0$ (vagy $2d^2-33d^2+100=0$), $a^2=25$ vagy $a^2=8$. Ha $a=5$, akkor $d=2$ és $a_1=1$, ha $a=-5$, akkor $d=-2$, $a_1=-1$, ha $a=2\sqrt[]{2}$, akkor $d=\frac{5}{2}\sqrt[]{2}$, $a_1=-3\sqrt[]{2}$, ha pedig $a=-2\sqrt[]{2}$, akkor $d=-\frac{5}{2}\sqrt[]{2}$, $a_1=3\sqrt[]{2}$.   3. Ha $\text{sin}\left(\alpha -\beta \right)=0$, akkor $\alpha -\beta =k\pi$, $k\in \text{Z}$, így $\beta =\alpha -k\pi$, $2\beta =2\alpha -2k\pi$, tehát $2\beta -\alpha =\alpha -2k\pi$. Innen $\text{sin}\left(2\beta -\alpha \right)=\text{sin}\left(\alpha -2k\pi \right)=\text{sin}\alpha$.   4. Az egyenlet diszkriminánsa ($m\ne 0$), $D=4{\left(m+1\right)}^2$, így az egyenlet egyik gyöke $x_1=-2<3$, az egyenlet másik gyöke, $x_2=\frac{2}{m}$, nagyobb kell legyen $3$-nál, így $m>0$, $\frac{2}{m}>3$, amiből $0<m<\frac{2}{3}$.   5. A feladat sokféle módon megoldható. Egy lehetőség: Jelölje a két befogó hosszát $a$, illetve $b$. Mivel az átfogó $4\sqrt[]{10}$ egység, azért $a^2+b^2=160$. Ahol a szögfelező metszi az átfogót, azon a ponton át az $a$ hosszúságú befogóval (egyik befogóval) húzzunk párhuzamost. Ez a háromszögből hozzá hasonló háromszöget vág le. A megfelelő befogók arányából $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\frac{3\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{2}}}{a}=\frac{b-3}{b}\mathrm{,}3\left(a+b\right)=ab\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $a^2+b^2={\left(a+b\right)}^2-2ab$, azért $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(a+b\right)}^2-6\left(a+b\right)-160=0.}\end{array}$ $a>0$, $b>0$ miatt $a+b=16$ és $ab=48$, tehát a két befogó hossza 4, illetve 12 egység.   6. A körök közös $AB$ húrjának felező merőlegese (egyenlete $x+y=9$) és az adott egyenes metszéspontja $C_1\left(25;-16\right)$ az egyik kör középpontja. Ennek az $AB$ húr $F\left(5;4\right)$ felezőpontjára való tükörképe, $C_2\left(-15;24\right)$ a másik kör középpontja. A körök egyenlete: ${\left(x-25\right)}^2+{\left(y+16\right)}^2={22}^2+{18}^2$, illetve ${\left(x+15\right)}^2+{\left(y-24\right)}^2={22}^2+{18}^2$.   7. Azonos átalakításokkal $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x+2\text{cos}xy\right)}^2+4\text{sin}{}^{2}xy=\mathrm{0,}}\end{array}$ ami pontosan akkor teljesül, ha $x+2\text{cos}xy=0$ és $\text{sin}xy=0$. Ha $xy=2k\pi$, $k\in \text{Z}$, akkor $\text{cos}xy=1$, tehát $x_k=-2$, $y_k=-k\pi$; ha $xy=\pi +2k\pi$, $k\in \text{Z}$, akkor $\text{cos}xy=-1$, tehát $x_k=2$, $y_k=\frac{\pi }{2}+k\pi$. (A feladat természetesen más módszerekkel is megoldható.)   8. Vegyük figyelembe, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \left|x^2-6x\right|=\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^2-6x\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>3</mn><mo stretchy="false">-</mo><mrow><mroot><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow><mo>≤</mo><mi>x</mi><mo>≤</mo><mn>0</mn></math> vagy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>6</mn><mo>≤</mo><mi>x</mi><mo>≤</mo><mn>7</mn></math>,}}\hfill \\ \multicolumn{2}{c}{\text{<div style="line-height: 3pt"> </div>}}\\ \hfill {\displaystyle -x^2+6x\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo stretchy="false"><</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false"><</mo><mn>6</mn></math>,}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ és $\begin{array}{c}{\displaystyle \left|x^2-6x+8\right|=\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^2-6x+\mathrm{8,}}& {\displaystyle \text{ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>3</mn><mo stretchy="false">-</mo><mrow><mroot><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow><mo>≤</mo><mi>x</mi><mo>≤</mo><mn>2</mn></math> vagy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>4</mn><mo>≤</mo><mi>x</mi><mo>≤</mo><mn>7</mn></math>,}}\hfill \\ \multicolumn{2}{c}{\text{<div style="line-height: 3pt"> </div>}}\\ \hfill {\displaystyle -x^2+6x-\mathrm{8,}}& {\displaystyle \text{ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><mo stretchy="false"><</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false"><</mo><mn>4</mn></math>.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Ha $3-\sqrt[]{10}\le x\le 0$, akkor $f\left(x\right)=2{\left(x-3\right)}^2-10$, a legnagyobb értéke 10, a legkisebb értéke 8. Ha $0<x<2$, akkor $f\left(x\right)=8$. Ha $2\le x\le 4$, akkor $f\left(x\right)=-2{\left(x-3\right)}^2+10$, a legnagyobb értéke 10, a legkisebb értéke 8. Ha $4<x<6$, akkor $f\left(x\right)=8$. Ha $6\le x\le 7$, akkor $f\left(x\right)=2{\left(x-3\right)}^2-10$, a legnagyobb értéke 22, a legkisebb értéke 8. A függvény legnagyobb értéke 22, amit az $x=7$ helyen vesz fel, a legkisebb értéke 8, amit akkor vesz fel, ha $0\le x\le 2$ vagy $4\le x\le 6$. Rábai Imre