Cím: Mérőlap felvételire készülőknek IV.
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 1997/február, 73. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

 
1. a) Oldjuk meg a természetes számok halmazán a következő egyenletet:
log23+log2232+...+log2n3n=log281.

b) Határozzuk meg a következő egyenlet valós megoldásait:
232x-2+9x-81=96-9x-1-32x.

 
2. Egy derékszögű háromszög a és b befogóira fennáll, hogy
2lga+b4=lga+lgb.
Számítsuk ki sin2α értékét, ahol α az a-val szemközti szöget jelöli.
 
3. Igazoljuk, hogy ha egy téglalap egyik átlójának felező merőlegese a téglalap hosszabbik a oldalát két olyan részre osztja, amelyek közül az egyik hossza megegyezik a rövidebb b oldallal, akkor a+b egy a befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogója lesz.
 
4. Egy háromszögben a szokásos jelölést alkalmaztuk, a c oldallal szemben van a γ szög, és a c oldalhoz tartozik az mc magasság. Bizonyítsuk be, hogy csinγ>mc.
 
5. Az A0A1...An töröttvonal töréspontjainak koordinátáit a következő módon határozhatjuk meg: A4k(0;-2k), A4k+1(4k+1;2k+1), A4k+2(-1;2k+1), A4k+3(-4k-4;
-2k-2), ahol k nemnegatív egész szám. Milyen hosszú ez a vonal A0-tól A1997-ig?
 
6. Egy tetraéder szemközti élei páronként egyenlőek, a három különböző él 285, 341, 421 egység hosszú. Mekkora a kitérő élek távolsága?
 
7. Három pont, A, B és C a térképen derékszögű háromszöget alkot úgy, hogy B-nél van a derékszög. A és B között 80, B és C között 120 méter a szintkülönbség. A-ból B-be 10-os emelkedőjű, B-ből C-be 12-os emelkedőjű egyenes út vezet. Határozzuk meg A és C távolságát légvonalban. Mekkora az ABC szög a valóságban?
 
8. Tekintsük az első n pozitív egész szám köbének összegét, és osszuk el az első n pozitív egész szám négyzetének összegével. Kaphatunk-e hányadosul egész számot, ha n>1 egész?
 

Számadó László, Budapest