Cím:	Mérőlap felvételire készülőknek IV.
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	1997/február, 73. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. a) Oldjuk meg a természetes számok halmazán a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_{2}3+\text{log}{}_{2^2}{3}^2+\text{...}+\text{log}{}_{2^n}{3}^n=\text{log}{}_{2}81.}\end{array}$ b) Határozzuk meg a következő egyenlet valós megoldásait: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\sqrt[]{3^{2x-2}+9^x-81}=96-9^{x-1}-3^{2x}\mathrm{.}}\end{array}$   2. Egy derékszögű háromszög $a$ és $b$ befogóira fennáll, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\cdot \text{lg}\frac{a+b}{4}=\text{lg}a+\text{lg}b\mathrm{.}}\end{array}$ Számítsuk ki $\text{sin}2\alpha$ értékét, ahol $\alpha$ az $a$-val szemközti szöget jelöli.   3. Igazoljuk, hogy ha egy téglalap egyik átlójának felező merőlegese a téglalap hosszabbik $a$ oldalát két olyan részre osztja, amelyek közül az egyik hossza megegyezik a rövidebb $b$ oldallal, akkor $a+b$ egy $a$ befogójú egyenlő szárú derékszögű háromszög átfogója lesz.   4. Egy háromszögben a szokásos jelölést alkalmaztuk, a $c$ oldallal szemben van a $\gamma$ szög, és a $c$ oldalhoz tartozik az $m_c$ magasság. Bizonyítsuk be, hogy $\frac{c}{\text{sin}\gamma }>m_c$.   5. Az $A_0{A}_1\text{...}{A}_n$ töröttvonal töréspontjainak koordinátáit a következő módon határozhatjuk meg: $A_{4k}\left(0;-2k\right)$, $A_{4k+1}\left(4k+1;2k+1\right)$, $A_{4k+2}\left(-1;2k+1\right)$, $A_{4k+3}(-4k-4;$ -2k-2), ahol $k$ nemnegatív egész szám. Milyen hosszú ez a vonal $A_0$-tól $A_{1997}$-ig?   6. Egy tetraéder szemközti élei páronként egyenlőek, a három különböző él $2\sqrt[]{85}$, $3\sqrt[]{41}$, $\sqrt[]{421}$ egység hosszú. Mekkora a kitérő élek távolsága?   7. Három pont, $A$, $B$ és $C$ a térképen derékszögű háromszöget alkot úgy, hogy $B$-nél van a derékszög. $A$ és $B$ között $80$, $B$ és $C$ között 120 méter a szintkülönbség. $A$-ból $B$-be ${10}^{\circ }$-os emelkedőjű, $B$-ből $C$-be ${12}^{\circ }$-os emelkedőjű egyenes út vezet. Határozzuk meg $A$ és $C$ távolságát légvonalban. Mekkora az $ABC$ szög a valóságban?   8. Tekintsük az első $n$ pozitív egész szám köbének összegét, és osszuk el az első $n$ pozitív egész szám négyzetének összegével. Kaphatunk-e hányadosul egész számot, ha $n>1$ egész?   Számadó László, Budapest