Cím: Megoldásvázlatok, erdmények a V. mérőlap feladataihoz
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 1996/május, 273 - 275. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

 
1. f1(x)=x2-9x-22=(x-92)2-1694=(x-11)(x+2).
f1(x)értelmezési tartománya: xR.
f1(x)értékkészlete:f1(x)-1694 és f1(x)R.

 
f2(x)értelmezési tartománya: xR.
 
f2(x)értékkészlete:f2(x)0 és f2(x)R.

 
f3(x)értelmezési tartománya: x-2 vagy 11x.
 
f3(x)értékkészlete:f3(x)0 és f3(x)R.

 
f4(x)értelmezési tartománya: x<-2 vagy 11<x.
 
f4(x)értékkészlete:f4(x)R.

 
2. Legyen a két gyök r1 és r2. Ekkor
A1+A2=6πr12+6πr22=6π(r12+r22)=6π[(r1+r2)2-2r1r2]=6π(100-221)==348π,V1+V2=2πr13+2πr23=2π(r13+r23)=2π[(r1+r2)3-3r1r2(r1+r2)]==2π(1000-32110)=740π.
Felhasználtuk a gyökök és együtthatók közötti összefüggést, aminek alapján r1+r2=10, r1r2=21.
 
3. Az értelmezési tartomány: x-1. Egy egyenlőtlenségnek mind a két oldalát pozitív mennyiséggel szorozhatjuk. Szorozzunk a következő kifejezéssel:
(x+1+2)(x+3+3)(x+5+4),
ami biztosan pozitív. Háromszor alkalmazva az (a-b)(a+b)=a2-b2 összefüggést, kapjuk:
(x+1-4)(x+3-9)(x+5-16)0,(x-3)(x-6)(x-11)0.
Az előjel viszonyokat számegyenesen ábrázolhatjuk. A megoldás: 3x6 vagy 11x. Ezek az értékek az értelmezési tartományban is benne vannak.
 
4. Az a egyenes normálvektora (2;1), a b egyenesé (-1;2), vagyis a háromszög (ha létezik), akkor derékszögű. Az a és b egyenesek egyenleteiből kapjuk: B(-6;3), a b és a c egyenesek egyenleteiből kapjuk: A(2;-3). Az AB szakasz felezőpontja F(-2;0). A köré írt kör sugara: r=AB2=5. A kör egyenlete: (x+2)2+y2=25.
Tudjuk, hogy t=ab2 (derékszögű háromszög), valamint t=r0s, ahol r0 a beírt kör sugara, s pedig a félkerület. Az a és a b metszéspontjait kiszámolva: C(-2;-5). Két pont távolsága számolható, ha adottak a koordináták: AC=b=25, BC=a=45, AB=c=2r=10. Így s=a+b+c2=5+35, t=ab2=20, vagyis r0=205+35=35-5.
 
5. Tegyük az S, Z, L pontokat derékszögű koordináta-rendszerbe oly módon, hogy S(-1;0), L(1;0) legyen, Z(x,y) pedig a mozgó pont. Ekkor s2=SZ2=(x+1)2+y2, l2=LZ2=(x-1)2+y2. Tudjuk, hogy 2s2+4=l2, vagyis 2[(x+1)2+y2)]+4=(x-1)2+y2. Rendezve: x2+y2+6x+4=0, ami (x+3)2+y2=4.
A Z pontok egy meghatározott körön helyezkednek el. A gondolatmenetet megfordítva beláthatjuk, hogy a körnek minden pontja eleget tesz a feltételeknek.
 
6. Mivel -17sin2x=sin2x-18sin2x, ezért az egyenletet felírhatjuk a következő alakban:
36sin4x-12sin3x+sin2x-18sin2x+3sinx+2=0, azaz(6sin2x-sinx)2-3(6sin2x-sinx)+2=0,
amiből 6sin2x-sinx=1, illetve 6sin2x-sinx=2. Ezeket az egyenleteket megoldva a következő értékeket kapjuk sinx-re: -13; 12; 23; -12. Így a megoldások:
x1=-1928'+k1360, x2=30+k2360, x3=4145'+k3360, x4=-30+k4360, x5=19928'+k5360, x6=150+k6360, x7=13828'+k7360, x8=210+k8360.
 
7. Legyen c=1n(n+1), ahol nZ, de n-1; 0. Ekkor x=y+1n(n+1), amit a másik egyenletbe beírunk: y2+1n(n+1)y-1n(n+1)=0. Írjuk fel a diszkriminánst:
D=1n2(n+1)2+4n(n+1)=1+4(n2+n)n2(n+1)2=(2n+1n(n+1))2.
Így már látható, hogy y racionális lesz, valamint x is. Az állítás megfordítása nem igaz. Egy ellenpélda: 334=94; 3-34=94.
 
8. VA=πr2m/3πr(a+r)=74. Elvégezve a műveleteket: 4rm=21a+21r. Tudjuk, hogy a2=r2+m2, így 4rm-21r=21r2+m2. Láthatóan m6. Emeljünk négyzetre és rendezzünk: 16r2m-168r2-441m=0. Ezt írhatjuk a következő alakban is:
(4r2)(m-212)=441m, amiből m11, egyébként a bal oldal negatív lenne, a jobb oldal pedig pozitív.
(4r)2=882m2m-21=441(2m-21)+92612m-21=441+92612m-21=441+33732m-21.
Mivel m11, azért 2m-21>0, ami azt jelenti, hogy 2m-21 a 3373 pozitív osztóival lehet egyenlő, de ekkor a 33732m-21 értéke is ezen pozitív osztók közül kerül ki: 1, 7, 49, 343, 3, 21, 147, 1029, 9, 63, 441, 3087, 27, 189, 1323, 9261. Ezekhez 441-et adva négyzetszámot, (4r)2-et kell kapnunk. A négyzetszámok 0, 1, 4, 5, 6, 9 végződésűek lehetnek, így a felsoroltakból nyolc marad. Ezeket behelyettesítve csak 343+441=784=282, r=7 adódik. (1323+441=1764 is négyzetszám, de nem (4r)2 alakú, hiszen nem osztható 16-tal.) Ha 33732m-21=343, akkor 2m-21=27, amiből m=24, a=25.
Számadó László