Cím:	Megoldásvázlatok, erdmények a V. mérőlap feladataihoz
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	1996/május, 273 - 275. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. $f_1\left(x\right)=x^2-9x-22={\left(x-\frac{9}{2}\right)}^2-\frac{169}{4}=\left(x-11\right)\left(x+2\right)$. $f_1\left(x\right)$ értelmezési tartománya: $x\in \text{R}$. $f_1\left(x\right)$ értékkészlete: $f_1\left(x\right)\ge -\frac{169}{4}$ és $f_1\left(x\right)\in \text{R}$.   $f_2\left(x\right)$ értelmezési tartománya: $x\in \text{R}$.   $f_2\left(x\right)$ értékkészlete: $f_2\left(x\right)\ge 0$ és $f_2\left(x\right)\in \text{R}$.   $f_3\left(x\right)$ értelmezési tartománya: $x\le -2$ vagy $11\le x$.   $f_3\left(x\right)$ értékkészlete: $f_3\left(x\right)\ge 0$ és $f_3\left(x\right)\in \text{R}$.   $f_4\left(x\right)$ értelmezési tartománya: $x<-2$ vagy $11<x$.   $f_4\left(x\right)$ értékkészlete: $f_4\left(x\right)\in \text{R}$.   2. Legyen a két gyök $r_1$ és $r_2$. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle A_1+A_2}& {\displaystyle =6\pi r_1^2+6\pi r_2^2=6\pi \left(r_1^2+r_2^2\right)=6\pi \left[{\left(r_1+r_2\right)}^2-2r_1{r}_2\right]=6\pi \left(100-2\cdot 21\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =348\pi \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle V_1+V_2}& {\displaystyle =2\pi r_1^3+2\pi r_2^3=2\pi \left(r_1^3+r_2^3\right)=2\pi \left[{\left(r_1+r_2\right)}^3-3r_1{r}_2\left(r_1+r_2\right)\right]=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi \left(1000-3\cdot 21\cdot 10\right)=740\pi \mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Felhasználtuk a gyökök és együtthatók közötti összefüggést, aminek alapján $r_1+r_2=10$, $r_1\cdot r_2=21$.   3. Az értelmezési tartomány: $x\ge -1$. Egy egyenlőtlenségnek mind a két oldalát pozitív mennyiséggel szorozhatjuk. Szorozzunk a következő kifejezéssel: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(\sqrt[]{x+1}+2\right)\cdot \left(\sqrt[]{x+3}+3\right)\cdot \left(\sqrt[]{x+5}+4\right)\mathrm{,}}\end{array}$ ami biztosan pozitív. Háromszor alkalmazva az $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$ összefüggést, kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left(x+1-4\right)\left(x+3-9\right)\left(x+5-16\right)}& {\displaystyle \ge \mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(x-3\right)\left(x-6\right)\left(x-11\right)}& {\displaystyle \ge 0.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Az előjel viszonyokat számegyenesen ábrázolhatjuk. A megoldás: $3\le x\le 6$ vagy $11\le x$. Ezek az értékek az értelmezési tartományban is benne vannak.   4. Az $a$ egyenes normálvektora $\left(2;1\right)$, a $b$ egyenesé $\left(-1;2\right)$, vagyis a háromszög (ha létezik), akkor derékszögű. Az $a$ és $b$ egyenesek egyenleteiből kapjuk: $B\left(-6;3\right)$, a $b$ és a $c$ egyenesek egyenleteiből kapjuk: $A\left(2;-3\right)$. Az $AB$ szakasz felezőpontja $F\left(-2;0\right)$. A köré írt kör sugara: $r=\frac{AB}{2}=5$. A kör egyenlete: ${\left(x+2\right)}^2+y^2=25$. Tudjuk, hogy $t=\frac{ab}{2}$ (derékszögű háromszög), valamint $t=r_{0}s$, ahol $r_0$ a beírt kör sugara, $s$ pedig a félkerület. Az $a$ és a $b$ metszéspontjait kiszámolva: $C\left(-2;-5\right)$. Két pont távolsága számolható, ha adottak a koordináták: $AC=b=2\sqrt[]{5}$, $BC=a=4\sqrt[]{5}$, $AB=c=2r=10$. Így $s=\frac{a+b+c}{2}=5+3\sqrt[]{5}$, $t=\frac{ab}{2}=20$, vagyis $r_0=\frac{20}{5+3\sqrt[]{5}}=3\sqrt[]{5}-5$.   5. Tegyük az $S$, $Z$, $L$ pontokat derékszögű koordináta-rendszerbe oly módon, hogy $S\left(-1;0\right)$, $L\left(1;0\right)$ legyen, $Z\left(x\mathrm{,}y\right)$ pedig a mozgó pont. Ekkor $s^2=S{Z}^2={\left(x+1\right)}^2+y^2$, $l^2=L{Z}^2={\left(x-1\right)}^2+y^2$. Tudjuk, hogy $2s^2+4=l^2$, vagyis $2\left[{\left(x+1\right)}^2+y^2)\right]+4={\left(x-1\right)}^2+y^2$. Rendezve: $x^2+y^2+6x+4=0$, ami ${\left(x+3\right)}^2+y^2=4$. A $Z$ pontok egy meghatározott körön helyezkednek el. A gondolatmenetet megfordítva beláthatjuk, hogy a körnek minden pontja eleget tesz a feltételeknek.   6. Mivel $-17\text{sin}{}^{2}x=\text{sin}{}^{2}x-18\text{sin}{}^{2}x$, ezért az egyenletet felírhatjuk a következő alakban: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle 36\text{sin}{}^{4}x-12\text{sin}{}^{3}x+\text{sin}{}^{2}x-18\text{sin}{}^{2}x+3\text{sin}x+2=\mathrm{0,}\text{ azaz}}\\ \hfill {\displaystyle {\left(6\text{sin}{}^{2}x-\text{sin}x\right)}^2-3\left(6\text{sin}{}^{2}x-\text{sin}x\right)+2=\mathrm{0,}}\end{array}}}\end{array}$ amiből $6\text{sin}{}^{2}x-\text{sin}x=1$, illetve $6\text{sin}{}^{2}x-\text{sin}x=2$. Ezeket az egyenleteket megoldva a következő értékeket kapjuk $\text{sin}x$-re: $-\frac{1}{3}$; $\frac{1}{2}$; $\frac{2}{3}$; $-\frac{1}{2}$. Így a megoldások: $x_1=-{19}^{\circ }28\text{'}+k_1\cdot {360}^{\circ }$, $x_2={30}^{\circ }+k_2\cdot {360}^{\circ }$, $x_3={41}^{\circ }45\text{'}+k_3\cdot {360}^{\circ }$, $x_4=-{30}^{\circ }+k_4\cdot {360}^{\circ }$, $x_5={199}^{\circ }28\text{'}+k_5\cdot {360}^{\circ }$, $x_6={150}^{\circ }+k_6\cdot {360}^{\circ }$, $x_7={138}^{\circ }28\text{'}+k_7\cdot {360}^{\circ }$, $x_8={210}^{\circ }+k_8\cdot {360}^{\circ }$.   7. Legyen $c=\frac{1}{n\left(n+1\right)}$, ahol $n\in \text{Z}$, de $n\ne -1$; 0. Ekkor $x=y+\frac{1}{n\left(n+1\right)}$, amit a másik egyenletbe beírunk: $y^2+\frac{1}{n\left(n+1\right)}\cdot y-\frac{1}{n\left(n+1\right)}=0$. Írjuk fel a diszkriminánst: $\begin{array}{c}{\displaystyle D=\frac{1}{n^2{\left(n+1\right)}^2}+\frac{4}{n\left(n+1\right)}=\frac{1+4\left(n^2+n\right)}{n^2{\left(n+1\right)}^2}={\left(\frac{2n+1}{n\left(n+1\right)}\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Így már látható, hogy $y$ racionális lesz, valamint $x$ is. Az állítás megfordítása nem igaz. Egy ellenpélda: $3\cdot \frac{3}{4}=\frac{9}{4}$; $3-\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$.   8. $\frac{V}{A}=\frac{\pi r^{2}m/3}{\pi r\left(a+r\right)}=\frac{7}{4}$. Elvégezve a műveleteket: $4rm=21a+21r$. Tudjuk, hogy $a^2=r^2+m^2$, így $4rm-21r=21\sqrt[]{r^2+m^2}$. Láthatóan $m\ge 6$. Emeljünk négyzetre és rendezzünk: $16r^{2}m-168r^2-441m=0$. Ezt írhatjuk a következő alakban is: $\left(4r^2\right)\cdot \left(m-\frac{21}{2}\right)=441m$, amiből $m\ge 11$, egyébként a bal oldal negatív lenne, a jobb oldal pedig pozitív. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(4r\right)}^2=\frac{882m}{2m-21}=\frac{441\left(2m-21\right)+9261}{2m-21}=441+\frac{9261}{2m-21}=441+\frac{3^3\cdot 7^3}{2m-21}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $m\ge 11$, azért $2m-21>0$, ami azt jelenti, hogy $2m-21$ a $3^3\cdot 7^3$ pozitív osztóival lehet egyenlő, de ekkor a $\frac{3^3\cdot 7^3}{2m-21}$ értéke is ezen pozitív osztók közül kerül ki: 1, 7, 49, 343, 3, 21, 147, 1029, 9, 63, 441, 3087, 27, 189, 1323, 9261. Ezekhez 441-et adva négyzetszámot, ${\left(4r\right)}^2$-et kell kapnunk. A négyzetszámok 0, 1, 4, 5, 6, 9 végződésűek lehetnek, így a felsoroltakból nyolc marad. Ezeket behelyettesítve csak $343+441=784={28}^2$, $r=7$ adódik. ($1323+441=1764$ is négyzetszám, de nem ${\left(4r\right)}^2$ alakú, hiszen nem osztható 16-tal.) Ha $\frac{3^3\cdot 7^3}{2m-21}=343$, akkor $2m-21=27$, amiből $m=24$, $a=25$. Számadó László