Cím: Mérőlap felvételire készülőknek III.
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1996/február, 75 - 76. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

 
1. Oldja meg a valós számpárok halmazán az x+y-x+y=2,  x3+y3=40 egyenletrendszert.
 
2. Igazolja, hogy minden valós (x;y) számpárra
x2+y2+1x+y+xy.
Mikor egyenlő a két kifejezés?
 
3. Tekintsük az f(x)=x2+2x+3x2+2x+2 kifejezést.
a) Igazolja, hogy f(x) minden valós x-re értelmezhető, és mindig pozitív értéket vesz fel.
b) Határozza meg f(x) lehetséges értékeinek halmazát.
c) Igazolja, hogy f(x) grafikonját megkephatjuk a g(x)=1x2+1 grafikonjának egy v vektorral való eltolásával. Mi ez a v vektor?
 
4. Bizonyítsa be, hogy ha sin(α-β)=0, akkor sin(2β-α)=sinα. Igaz-e ennek az állításnak a megfordítása?
 
5. Az ABC háromszögben AB=c, AC=b egység és BAC=α. Igazolja, hogy ha a BC oldalhoz tartozó súlyvonal hossza sa, akkor
sa2=(b+c2)2-bcsin2α2.

 
6. Egy számsorozat első tagja a1=4 és minden n1-re an+1=2an-1. Írja fel a sorozat n-edik elemét és az első n elemének összegét n függvényeként.
 
7. Tekintsük az (x+8)2+(y-12)2=100 és az (x-4)2+(y+4)2=100 egyenletű köröket. Igazolja, hogy a két kör érinti egymást. Írja fel annak a körnek az egyenletét, amelyik mindkét kört a közös érintési pontban érinti, és érinti az x tengelyt is.
 
8. Tekintsük az f(x)=px2-(5p+1)x+5 kifejezést, ahol p valós paraméter.
A p értékétől függően mikor vesz fel a ]2;4[ (nyílt) intervallumban az f(x) kifejezés csak pozitív, és mikor csak negatív értékeket?
Rábai Imre