Cím:	Mérőlap felvételire készülőknek III.
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1996/február, 75 - 76. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   1. Oldja meg a valós számpárok halmazán az $x+y-\sqrt[]{x+y}=2$,  $x^3+y^3=40$ egyenletrendszert.   2. Igazolja, hogy minden valós $\left(x;y\right)$ számpárra $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+y^2+1\ge x+y+xy\mathrm{.}}\end{array}$ Mikor egyenlő a két kifejezés?   3. Tekintsük az $f\left(x\right)=\frac{x^2+2x+3}{x^2+2x+2}$ kifejezést. a) Igazolja, hogy $f\left(x\right)$ minden valós $x$-re értelmezhető, és mindig pozitív értéket vesz fel. b) Határozza meg $f\left(x\right)$ lehetséges értékeinek halmazát. c) Igazolja, hogy $f\left(x\right)$ grafikonját megkephatjuk a $g\left(x\right)=\frac{1}{x^2+1}$ grafikonjának egy $\text{v}$ vektorral való eltolásával. Mi ez a $\text{v}$ vektor?   4. Bizonyítsa be, hogy ha $\text{sin}\left(\alpha -\beta \right)=0$, akkor $\text{sin}\left(2\beta -\alpha \right)=\text{sin}\alpha$. Igaz-e ennek az állításnak a megfordítása?   5. Az $ABC$ háromszögben $AB=c$, $AC=b$ egység és $BAC\sphericalangle =\alpha$. Igazolja, hogy ha a $BC$ oldalhoz tartozó súlyvonal hossza $s_a$, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle s_a^2={\left(\frac{b+c}{2}\right)}^2-bc\text{sin}{}^2\frac{\alpha }{2}\mathrm{.}}\end{array}$   6. Egy számsorozat első tagja $a_1=4$ és minden $n\ge 1$-re $a_{n+1}=2a_n-1$. Írja fel a sorozat $n$-edik elemét és az első $n$ elemének összegét $n$ függvényeként.   7. Tekintsük az ${\left(x+8\right)}^2+{\left(y-12\right)}^2=100$ és az ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=100$ egyenletű köröket. Igazolja, hogy a két kör érinti egymást. Írja fel annak a körnek az egyenletét, amelyik mindkét kört a közös érintési pontban érinti, és érinti az $x$ tengelyt is.   8. Tekintsük az $f\left(x\right)=p{x}^2-\left(5p+1\right)x+5$ kifejezést, ahol $p$ valós paraméter. A $p$ értékétől függően mikor vesz fel a $]2;4[$ (nyílt) intervallumban az $f\left(x\right)$ kifejezés csak pozitív, és mikor csak negatív értékeket? Rábai Imre