Cím: A kényszerrezgés egyszerű vizsgálata
Szerző(k):  Légrádi Imre 
Füzet: 1995/március, 175. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 

A KöMaL 1995. évi 1. számában a soros RLC köröknél fellépő rezonanciajelenségekkel, azok egyszerű (felsőbb matematikai ismereteket nem igénylő) tárgyalásával foglalkoztunk. Vizsgálódásainkat most kiterjesztjük a mechanikai rezgésekre, és felhívjuk a figyelmet a két jelenségkör közötti analógiákra is.*
Ha egy rezgő testre a rugóerőn kívül egy periodikus kényszerítőerő, továbbá a sebességgel egyenesen arányos nagyságú csillapítóerő is hat, akkor csillapított kényszerrezgésről beszélünk. Ennek a mozgásnak az ideális változatával foglalkoznak a hivatkozott tankönyvek is.
A mozgás leírására forgó vektorokat használhatunk, ahogyan a váltakozó áram leírására is. Induljunk ki a váltóáramnál használt mennyiségek vektoraiból, és állapítsuk meg | analógiák segítségével |, hogy melyik mechanikai mennyiség felel meg nekik a rezgés esetén. Tekintsük az ideális soros RLC áramkört, illetve egy csavarrugóhoz erősített testet, amelyre a fentebb említett erők hatnak.
Tudjuk, hogy egy kondenzátorba úgy lehet sok töltést belepréselni, ha nagy feszültséget kapcsolunk rá. Ebből a legkönnyebb azt az analógiát megállapítani, hogy a kondenzátor egy rugóhoz hasonlít. Tehát a rugóerőnek megfeleltetjük a kondenzátor sarkain lévő feszültséget. Az ohmos ellenálláson lévő feszültségnek nyilván a csillapítóerőt feleltethetjük meg. A teljes RLC kör sarkain lévő feszültségnek, vagyis a külső kényszerítő feszültségnek pedig a kényszerítőerőt (más szóval gerjesztőerőt) feleltetjük meg. Legyen e gerjesztőerő körfrekvenciája ω, amelyet a vizsgálatok során folyamatosan lehet változtatni, nullától igen nagy értékig. Legyen továbbá a rugóhoz kapcsolt test szabad rezgéseinek körfrekvenciája ω0=k/m, az úgynevezett saját(kör)frekvencia.
Az önindukciós tekercsre jutó feszültségnek nehezebb megtalálni az analogonját, de hát már úgysem maradt más, mint a tömeg és a gyorsulás szorzata, amit vektornak tekinthetünk. Természetesen azt az ideális esetet vizsgáljuk, amikor mindegyik erő azonos frekvenciával, időben szinuszosan változik.
A harmonikus rezgőmozgás vizsgálatából tudjuk, hogy a sebesség negyed periódussal, 90-kal siet a kitéréshez képest, illetve, hogy a gyorsulás ellentétes fázisban van a kitéréssel, vagyis 180-kal siet hozzá képest.
Ha a gerjesztőerő vektorának jele G, a rugóerőé R, a csillapítóerőé C, továbbá, ha a tömeg és a gyorsulás szorzatát T-vel jelöljük, illetve megállapodunk abban, hogy ezek a betűk a vektorok abszolút értékét képviselik, tehát pozitívak, akkor a szóban forgó erőkre az 1. ábra szerinti vektorsokszöget rajzolhatjuk fel.
A vektorok egymáshoz képesti helyzetét a következők magyarázzák: A gyorsulás, illetve a tömeg és gyorsulás szorzatát reprezentáló T vektor egy egyenesbe esik a kitéréssel, de azzal ellentétes irányú. Hasonlóan a rugóerőt képviselő R is egy egyenesbe esik a kitéréssel. A C vektor merőleges T-re, mert ez a vektor a sebességgel esik egy egyenesbe, a sebesség pedig 90-kal megelőzi a kitérést. A G, C és R vektorok vektori összege tehát T kell legyen, de ez csak úgy valósítható meg, hogy G vektor ,,ferdén'' áll T-hez képest, vagyis a kitérésvektorral, amely T-vel ellentétes irányú, s az ábrába nincsen berajzolva, a G vektor φ szöget zár be.
Minthogy az említett vektorok ω szögsebességgel forgó vektorok, hasonlóan a váltakozó áramnál használt eljáráshoz, a 2. ábrán látható módon is ábrázolhatjuk őket. Először a V sebességvektort vesszük fel, mert ez felel meg az áramerősség vektorának. Ugyanis a rugóerőt a kondenzátor feszültségével azonosítottuk, de a kondenzátor feszültsége egyenlő a töltés és a kapacitás hányadosával, míg a rugóerő egyenesen arányos a kitéréssel. Ebből következik, hogy a kitérés a kondenzátor töltésének a megfelelője. A töltés időegységre eső változása az áramerősség, aminek akkor a mechanikai mennyiségek körében a kitérés időegységre eső változása, vagyis a sebesség kell megfeleljen.
A sebességhez képest 90-kal lemarad a kitérés X vektora, viszont G vektor φ szöggel jár X előtt, C vektor pedig a V sebességgel ellentétes irányú.
Vegyük úgy, hogy ezek a forgó vektorok a nekik megfelelő mechanikai mennyiségek amplitúdóját képviselik. Az ábrákból a következőket olvashatjuk le a vektorok hosszára vonatkozólag: Gcos(180-φ)+R=T és Gsin(180-φ)=C.
Használjuk a továbbiakban a Budó: Mechanika, 19. paragrafusának jelöléseit, tehát G helyett ezután F0-t írunk, R helyett kA-t, T helyett mAω2-et és C helyett βAω-t. Ezekkel a fenti két egyenletet így írhatjuk le:
F0cosφ=kA-mAω2,F0sinφ=βAω.
Ezek hányadosából a kitérés és a gerjesztőerő közötti fáziskülönbségre rögtön kapjuk, hogy
tgφ=βAωkA-mAω2,
illetve a kitérés amplitúdójának négyzetére
A2=F02(k-mω2)2+β2ω2.
Látható, hogy mindkettő függ a gerjesztőerő aktuális frekvenciájától.
Vezessünk be a hivatkozott könyvnek megfelelően további egyszerűsítő jelöléseket! Legyen f0=F0/m, κ=β/(2m), illetve a már említett ω02=k/m. Ezekkel a fáziseltolódás mértékére írhatjuk, hogy
tgφ=2κωω02-ω2,
az amplitúdónak a frekvenciától való függésére pedig ezt kapjuk:
A=f0(ω02-ω2)2+4κ2ω2.
Foglalkozzunk most a rezonanciának nevezett esettel. Ez lényegében azt jelenti, hogy a gerjesztőerő ω körfrekvenciáját igen kicsi értékekből kiindulva növeljük igen nagy értékekig, miközben a rezgő test amplitúdóját figyeljük. Ha az amplitúdót az ω körfrekvencia függvényében ábrázoljuk is, akkor az úgynevezett rezonanciagörbét vesszük fel. Ilyen görbéket mutat a 3. ábra.
Mindenekelőtt megállapíthatjuk, hogy a görbék nem az origóból indulnak ki az (ω,A) koordináta-rendszerben, hanem, mint az a fenti amplitúdóképletből is leolvasható, f0/ω02 kezdeti értékből. (f0/ω02 dimenziója természetesen méter.)
A 3. ábrán több görbe látható, amelyek között az tesz különbséget, hogy milyen erős csillapítás hat a rezgő testre, vagyis mekkora β, illetve ennek következtében κ értéke. Mindegyik görbe ugyanonnan indul, később maximumot ér el, majd pedig zérus értékhez tart igen nagy ω esetén. A legalsó görbéhez tartozik a legnagyobb csillapítás, a felette következőknél csökken.
A maximumok helye, vagyis a rezonancia helye érdekes. Látható, hogy erős csillapítás esetén az ω0 sajátkörfrekvenciánál jóval kisebb ωr körfrekvenciánál van a görbe maximuma.
A maximum helyét az amplitúdó képlet nevezőjében lévő gyök alatti mennyiség átalakításával kaphatjuk meg. Átalakítjuk ω2=z-ben másodfokú függvénnyé, majd ennek maximumát a szokásos ,,-b/2a'' helyen keressük:
(ω02-ω2)2+4κω2=z2+(4κ2-2ω02)z+ω04;,,-b/2a''=ω02-2κ2=ωr2,tehátωr=ω02-2κ2<ω0.
A gondosabb elemzés tehát azt mutatja, hogy ha a kényszerrezgést végző testre ható gerjesztőerő frekvenciáját igen kis frekvenciáktól indulva folyamatosan növeljük, akkor a kényszerrezgés amplitúdója egy νr frekvenciánál a legnagyobb értékét veszi fel, s ez a νr frekvencia a ν0 sajátfrekvencia közelébe esik, de annál mindig kisebb.
Ez a jelenség az amplitúdórezonancia.
Ha a csillapítóhatás gyenge, mert például levegőben rezeg a kényszerrezgést végző test, akkor κ2 másodrendűen kicsiny érték, s ilyenkor gyakorlatilag nem lehet megkülönböztetni a maximális amplitúdóhoz tartozó ωr gerjesztőfrekvenciát ω0-tól.
Az amplitúdó maximális értékét megkapjuk, ha ωr értékét A képletébe helyettesítjük:
A(ωr)=f02κω02-κ2>A(ω0).
A gerjesztőerő és a kitérés nincsen azonos fázisban. A közöttük lévő fázisszög tangensét az előzőekben levezettük. tgφ ott kapott képletéből látható, hogy bármilyen nem nulla ω esetén φ is nullától különböző szög.
Minthogy a rezonanciához tartozó ωr körfrekvencia kisebb ω0-nál, de gyenge csillapítás esetén annak közelében van, a képletből látszik, hogy rezonancia esetén tgφ-re igen nagy szám adódik, azaz φ90. Ilyenkor tehát a gerjesztőerő forgóvektora körülbelül merőleges a kitérés forgóvektorára, azaz éppen a sebesség vektorával párhuzamos és egyirányú. Emiatt a rezgő testtel állandóan energiát közöl (Fv=teljesítmény!). Ha a csillapítás nem tudja felemészteni a test energianövekményét, akkor állandóan növekszik az amplitúdó, egészen az eszköz tönkremeneteléig...
Kérdezhetjük, hogy a kényszerrezgést végző test sebességamplitúdója hogyan függ a gerjesztőerő frekvenciájától. Az előző sorokból érezhető, hogy a sebességamplitúdó akkor lehet a legnagyobb, amikor a gerjesztőerő forgóvektora pontosan merőleges a kitérés forgóvektorára, vagyis amikor φ=90. A sebességamplitúdó, mint tudjuk, Aω, azaz
f0ω(ω02-ω2)2+4κ2ω2=f0(ω02-ω2)2ω2+4κ2,
ami valóban akkor maximális, ha ω=ω0. A legnagyobb sebességamplitúdó pedig f0/(2κ).
Érdemes a gyorsulás amplitúdóját is megvizsgálni. Ez Aω2, vagyis
f0ω2(ω02-ω2)2+4κ2ω2=f0(ω02-ω2)2ω4+4κ2ω2.
Ez utóbbi tört maximuma ott van, ahol a nevezőjében lévő gyök alatti mennyiség minimális. A gyök alatti mennyiséget 1/ω2z-ben másodfokú függvénnyé alakítjuk, s megkeressük a minimumát:
(ω02-ω2)2ω4+4κω2=ω04(1ω2)2+(4κ2-2ω02)1ω2+1=ω04z2+2(2κ2-ω02)z+1,,,-b/2a''=2(ω02-2κ2)2ω04=ω02-2κω04=1ωg2,ωg=ω02ω02-2κ2>ω0.
A gyorsulásamplitúdó tehát mindig ω0-nál nagyobb körfrekvenciáknál maximális. A 4. ábra a kényszerrezgést végző test gyorsulásamplitúdójának a gerjesztőerő ω körfrekvenciájától való függését mutatja, különböző erősségű csillapítások mellett. A grafikonokon is látható, hogy maximumuk ω0-nál nagyobb ωg körfrekvenciánál található. (Hasonlóan az RLC áramkör tekercsén lévő feszültséghez, a kezdetben megállapított analógiának megfelelően.)
Érdemes felfigyelni még arra, hogy ω0 éppen ωr és ωg mértani közepe, vagyis ω0=ωrωg.
Légrádi Imre

 

 

 

 

*Az egyes mennyiségek jelölése Budó Ágoston: Mechanika tankönyvének 19. paragrafusát, illetve a forgó vektorok vonatkozásában Holics László gimnáziumi III. osztályos könyve függelékének 29. pontját követi.