Cím:	A kényszerrezgés egyszerű vizsgálata
Szerző(k):	Légrádi Imre
Füzet:	1995/március, 175. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   A KöMaL 1995. évi 1. számában a soros $R$‐$L$‐$C$ köröknél fellépő rezonanciajelenségekkel, azok egyszerű (felsőbb matematikai ismereteket nem igénylő) tárgyalásával foglalkoztunk. Vizsgálódásainkat most kiterjesztjük a mechanikai rezgésekre, és felhívjuk a figyelmet a két jelenségkör közötti analógiákra is.${}^{*}$ Ha egy rezgő testre a rugóerőn kívül egy periodikus kényszerítőerő, továbbá a sebességgel egyenesen arányos nagyságú csillapítóerő is hat, akkor csillapított kényszerrezgésről beszélünk. Ennek a mozgásnak az ideális változatával foglalkoznak a hivatkozott tankönyvek is. A mozgás leírására forgó vektorokat használhatunk, ahogyan a váltakozó áram leírására is. Induljunk ki a váltóáramnál használt mennyiségek vektoraiból, és állapítsuk meg | analógiák segítségével |, hogy melyik mechanikai mennyiség felel meg nekik a rezgés esetén. Tekintsük az ideális soros $R$‐$L$‐$C$ áramkört, illetve egy csavarrugóhoz erősített testet, amelyre a fentebb említett erők hatnak. Tudjuk, hogy egy kondenzátorba úgy lehet sok töltést belepréselni, ha nagy feszültséget kapcsolunk rá. Ebből a legkönnyebb azt az analógiát megállapítani, hogy a kondenzátor egy rugóhoz hasonlít. Tehát a rugóerőnek megfeleltetjük a kondenzátor sarkain lévő feszültséget. Az ohmos ellenálláson lévő feszültségnek nyilván a csillapítóerőt feleltethetjük meg. A teljes $R$‐$L$‐$C$ kör sarkain lévő feszültségnek, vagyis a külső kényszerítő feszültségnek pedig a kényszerítőerőt (más szóval gerjesztőerőt) feleltetjük meg. Legyen e gerjesztőerő körfrekvenciája $\omega$, amelyet a vizsgálatok során folyamatosan lehet változtatni, nullától igen nagy értékig. Legyen továbbá a rugóhoz kapcsolt test szabad rezgéseinek körfrekvenciája ${\omega }_0=\sqrt[]{k/m}$, az úgynevezett saját(kör)frekvencia. Az önindukciós tekercsre jutó feszültségnek nehezebb megtalálni az analogonját, de hát már úgysem maradt más, mint a tömeg és a gyorsulás szorzata, amit vektornak tekinthetünk. Természetesen azt az ideális esetet vizsgáljuk, amikor mindegyik erő azonos frekvenciával, időben szinuszosan változik. A harmonikus rezgőmozgás vizsgálatából tudjuk, hogy a sebesség negyed periódussal, ${90}^{\circ }$-kal siet a kitéréshez képest, illetve, hogy a gyorsulás ellentétes fázisban van a kitéréssel, vagyis ${180}^{\circ }$-kal siet hozzá képest. Ha a gerjesztőerő vektorának jele $G$, a rugóerőé $R$, a csillapítóerőé $C$, továbbá, ha a tömeg és a gyorsulás szorzatát $T$-vel jelöljük, illetve megállapodunk abban, hogy ezek a betűk a vektorok abszolút értékét képviselik, tehát pozitívak, akkor a szóban forgó erőkre az 1. ábra szerinti vektorsokszöget rajzolhatjuk fel. A vektorok egymáshoz képesti helyzetét a következők magyarázzák: A gyorsulás, illetve a tömeg és gyorsulás szorzatát reprezentáló $T$ vektor egy egyenesbe esik a kitéréssel, de azzal ellentétes irányú. Hasonlóan a rugóerőt képviselő $R$ is egy egyenesbe esik a kitéréssel. A $C$ vektor merőleges $T$-re, mert ez a vektor a sebességgel esik egy egyenesbe, a sebesség pedig ${90}^{\circ }$-kal megelőzi a kitérést. A $G$, $C$ és $R$ vektorok vektori összege tehát $T$ kell legyen, de ez csak úgy valósítható meg, hogy $G$ vektor ,,ferdén'' áll $T$-hez képest, vagyis a kitérésvektorral, amely $T$-vel ellentétes irányú, s az ábrába nincsen berajzolva, a $G$ vektor $\phi$ szöget zár be. Minthogy az említett vektorok $\omega$ szögsebességgel forgó vektorok, hasonlóan a váltakozó áramnál használt eljáráshoz, a 2. ábrán látható módon is ábrázolhatjuk őket. Először a $V$ sebességvektort vesszük fel, mert ez felel meg az áramerősség vektorának. Ugyanis a rugóerőt a kondenzátor feszültségével azonosítottuk, de a kondenzátor feszültsége egyenlő a töltés és a kapacitás hányadosával, míg a rugóerő egyenesen arányos a kitéréssel. Ebből következik, hogy a kitérés a kondenzátor töltésének a megfelelője. A töltés időegységre eső változása az áramerősség, aminek akkor a mechanikai mennyiségek körében a kitérés időegységre eső változása, vagyis a sebesség kell megfeleljen. A sebességhez képest ${90}^{\circ }$-kal lemarad a kitérés $X$ vektora, viszont $G$ vektor $\phi$ szöggel jár $X$ előtt, $C$ vektor pedig a $V$ sebességgel ellentétes irányú. Vegyük úgy, hogy ezek a forgó vektorok a nekik megfelelő mechanikai mennyiségek amplitúdóját képviselik. Az ábrákból a következőket olvashatjuk le a vektorok hosszára vonatkozólag: $G\text{cos}\left({180}^{\circ }-\phi \right)+R=T$ és $G\text{sin}\left({180}^{\circ }-\phi \right)=C$. Használjuk a továbbiakban a Budó: Mechanika, 19. paragrafusának jelöléseit, tehát $G$ helyett ezután $F_0$-t írunk, $R$ helyett $kA$-t, $T$ helyett $mA{\omega }^2$-et és $C$ helyett $\beta A\omega$-t. Ezekkel a fenti két egyenletet így írhatjuk le: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle F_0\text{cos}\phi }& {\displaystyle =kA-mA{\omega }^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle F_0\text{sin}\phi }& {\displaystyle =\beta A\omega \mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Ezek hányadosából a kitérés és a gerjesztőerő közötti fáziskülönbségre rögtön kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\phi =\frac{\beta A\omega }{kA-mA{\omega }^2}\mathrm{,}}\end{array}$ illetve a kitérés amplitúdójának négyzetére $\begin{array}{c}{\displaystyle A^2=\frac{F_0^2}{{\left(k-m{\omega }^2\right)}^2+{\beta }^2{\omega }^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Látható, hogy mindkettő függ a gerjesztőerő aktuális frekvenciájától. Vezessünk be a hivatkozott könyvnek megfelelően további egyszerűsítő jelöléseket! Legyen $f_0=F_0/m$, $\kappa =\beta /\left(2m\right)$, illetve a már említett ${\omega }_0^2=k/m$. Ezekkel a fáziseltolódás mértékére írhatjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\phi =\frac{2\cdot \kappa \cdot \omega }{{\omega }_0^2-{\omega }^2}\mathrm{,}}\end{array}$ az amplitúdónak a frekvenciától való függésére pedig ezt kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle A=\frac{f_0}{\sqrt[]{{\left({\omega }_0^2-{\omega }^2\right)}^2+4{\kappa }^2{\omega }^2}}\mathrm{.}}\end{array}$ Foglalkozzunk most a rezonanciának nevezett esettel. Ez lényegében azt jelenti, hogy a gerjesztőerő $\omega$ körfrekvenciáját igen kicsi értékekből kiindulva növeljük igen nagy értékekig, miközben a rezgő test amplitúdóját figyeljük. Ha az amplitúdót az $\omega$ körfrekvencia függvényében ábrázoljuk is, akkor az úgynevezett rezonanciagörbét vesszük fel. Ilyen görbéket mutat a 3. ábra. Mindenekelőtt megállapíthatjuk, hogy a görbék nem az origóból indulnak ki az $\left(\omega \mathrm{,}A\right)$ koordináta-rendszerben, hanem, mint az a fenti amplitúdóképletből is leolvasható, $f_0/{\omega }_0^2$ kezdeti értékből. ($f_0/{\omega }_0^2$ dimenziója természetesen méter.) A 3. ábrán több görbe látható, amelyek között az tesz különbséget, hogy milyen erős csillapítás hat a rezgő testre, vagyis mekkora $\beta$, illetve ennek következtében $\kappa$ értéke. Mindegyik görbe ugyanonnan indul, később maximumot ér el, majd pedig zérus értékhez tart igen nagy $\omega$ esetén. A legalsó görbéhez tartozik a legnagyobb csillapítás, a felette következőknél csökken. A maximumok helye, vagyis a rezonancia helye érdekes. Látható, hogy erős csillapítás esetén az ${\omega }_0$ sajátkörfrekvenciánál jóval kisebb ${\omega }_r$ körfrekvenciánál van a görbe maximuma. A maximum helyét az amplitúdó képlet nevezőjében lévő gyök alatti mennyiség átalakításával kaphatjuk meg. Átalakítjuk ${\omega }^2=z$-ben másodfokú függvénnyé, majd ennek maximumát a szokásos ,,$-b/2a$'' helyen keressük: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle {\left({\omega }_0^2-{\omega }^2\right)}^2+4\kappa {\omega }^2=z^2+\left(4{\kappa }^2-2{\omega }_0^2\right)z+{\omega }_0^4;}\\ \hfill {\displaystyle \text{,,}-b^{/}2a\text{''}={\omega }_0^2-2{\kappa }^2={\omega }_r^2\mathrm{,}\text{tehát}{\omega }_r=\sqrt[]{{\omega }_0^2-2{\kappa }^2}<{\omega }_0\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ A gondosabb elemzés tehát azt mutatja, hogy ha a kényszerrezgést végző testre ható gerjesztőerő frekvenciáját igen kis frekvenciáktól indulva folyamatosan növeljük, akkor a kényszerrezgés amplitúdója egy ${\nu }_r$ frekvenciánál a legnagyobb értékét veszi fel, s ez a ${\nu }_r$ frekvencia a ${\nu }_0$ sajátfrekvencia közelébe esik, de annál mindig kisebb. Ez a jelenség az amplitúdórezonancia. Ha a csillapítóhatás gyenge, mert például levegőben rezeg a kényszerrezgést végző test, akkor ${\kappa }^2$ másodrendűen kicsiny érték, s ilyenkor gyakorlatilag nem lehet megkülönböztetni a maximális amplitúdóhoz tartozó ${\omega }_r$ gerjesztőfrekvenciát ${\omega }_0$-tól. Az amplitúdó maximális értékét megkapjuk, ha ${\omega }_r$ értékét $A$ képletébe helyettesítjük: $\begin{array}{c}{\displaystyle A\left({\omega }_r\right)=\frac{f_0}{2\kappa \cdot \sqrt[]{{\omega }_0^2-{\kappa }^2}}>A\left({\omega }_0\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A gerjesztőerő és a kitérés nincsen azonos fázisban. A közöttük lévő fázisszög tangensét az előzőekben levezettük. $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\phi$ ott kapott képletéből látható, hogy bármilyen nem nulla $\omega$ esetén $\phi$ is nullától különböző szög. Minthogy a rezonanciához tartozó ${\omega }_r$ körfrekvencia kisebb ${\omega }_0$-nál, de gyenge csillapítás esetén annak közelében van, a képletből látszik, hogy rezonancia esetén $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\phi$-re igen nagy szám adódik, azaz $\phi \approx {90}^{\circ }$. Ilyenkor tehát a gerjesztőerő forgóvektora körülbelül merőleges a kitérés forgóvektorára, azaz éppen a sebesség vektorával párhuzamos és egyirányú. Emiatt a rezgő testtel állandóan energiát közöl ($F\cdot v=\text{teljesítmény}$!). Ha a csillapítás nem tudja felemészteni a test energianövekményét, akkor állandóan növekszik az amplitúdó, egészen az eszköz tönkremeneteléig$\text{...}$ Kérdezhetjük, hogy a kényszerrezgést végző test sebességamplitúdója hogyan függ a gerjesztőerő frekvenciájától. Az előző sorokból érezhető, hogy a sebességamplitúdó akkor lehet a legnagyobb, amikor a gerjesztőerő forgóvektora pontosan merőleges a kitérés forgóvektorára, vagyis amikor $\phi ={90}^{\circ }$. A sebességamplitúdó, mint tudjuk, $A\omega$, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{f_0\omega }{\sqrt[]{{\left({\omega }_0^2-{\omega }^2\right)}^2+4{\kappa }^2{\omega }^2}}=\frac{f_0}{\sqrt[]{\frac{{\left({\omega }_0^2-{\omega }^2\right)}^2}{{\omega }^2}+4{\kappa }^2}}\mathrm{,}}\end{array}$ ami valóban akkor maximális, ha $\omega ={\omega }_0$. A legnagyobb sebességamplitúdó pedig $f_0/\left(2\kappa \right)$. Érdemes a gyorsulás amplitúdóját is megvizsgálni. Ez $A\cdot {\omega }^2$, vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{f_0{\omega }^2}{\sqrt[]{{\left({\omega }_0^2-{\omega }^2\right)}^2+4{\kappa }^2{\omega }^2}}=\frac{f_0}{\sqrt[]{\frac{{\left({\omega }_0^2-{\omega }^2\right)}^2}{{\omega }^4}+\frac{4{\kappa }^2}{{\omega }^2}}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez utóbbi tört maximuma ott van, ahol a nevezőjében lévő gyök alatti mennyiség minimális. A gyök alatti mennyiséget $1/{\omega }^2\equiv z$-ben másodfokú függvénnyé alakítjuk, s megkeressük a minimumát: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{{\left({\omega }_0^2-{\omega }^2\right)}^2}{{\omega }^4}+\frac{4\kappa }{{\omega }^2}={\omega }_0^4{\left(\frac{1}{{\omega }^2}\right)}^2+\left(4{\kappa }^2-2{\omega }_0^2\right)\frac{1}{{\omega }^2}+1={\omega }_0^4{z}^2+2\left(2{\kappa }^2-{\omega }_0^2\right)z+\mathrm{1,}}\\ \hfill {\displaystyle \text{,,}-b/2a\text{''}=\frac{2\left({\omega }_0^2-2{\kappa }^2\right)}{2{\omega }_0^4}=\frac{{\omega }_0^2-2\kappa }{{\omega }_0^4}=\frac{1}{{\omega }_g^2}\mathrm{,}{\omega }_g=\frac{{\omega }_0^2}{\sqrt[]{{\omega }_0^2-2{\kappa }^2}}>{\omega }_0\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ A gyorsulásamplitúdó tehát mindig ${\omega }_0$-nál nagyobb körfrekvenciáknál maximális. A 4. ábra a kényszerrezgést végző test gyorsulásamplitúdójának a gerjesztőerő $\omega$ körfrekvenciájától való függését mutatja, különböző erősségű csillapítások mellett. A grafikonokon is látható, hogy maximumuk ${\omega }_0$-nál nagyobb ${\omega }_g$ körfrekvenciánál található. (Hasonlóan az $R$‐$L$‐$C$ áramkör tekercsén lévő feszültséghez, a kezdetben megállapított analógiának megfelelően.) Érdemes felfigyelni még arra, hogy ${\omega }_0$ éppen ${\omega }_r$ és ${\omega }_g$ mértani közepe, vagyis ${\omega }_0=\sqrt[]{{\omega }_r\cdot {\omega }_g}$. Légrádi Imre         ${}^{*}$Az egyes mennyiségek jelölése Budó Ágoston: Mechanika tankönyvének 19. paragrafusát, illetve a forgó vektorok vonatkozásában Holics László gimnáziumi III. osztályos könyve függelékének 29. pontját követi.