Cím: Megoldások, eredmények az áprilisi szám mérőlapjához
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 1994/május, 257 - 259. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések alapján:

r1+r2=2r1r2=0,5.

A kerületek összege: k1+k2=2(r1+r2)π=4π. A területek összege: t1+t2=(r12+r22)π=((r1+r2)2-2r1r2)π=3π.
2. A keresett egyenes átmegy a KLMN téglalap O középpontján. Ez az egyenes a KL, MN oldalakat, valamint az NK oldalegyenest rendre az A, B, C pontokban metszi. Belátható, hogy KLF, CKA, CNB derékszögű háromszögek hasonlóak. Mivel 3FL=KL, azért ha KA=x, akkor KC=3x. A téglalap középpontos hasonlósága miatt AL=BN=3-x. Tudjuk továbbá, hogy NC=KC-KN=3x-2. De 3NB=NC, ezért 3(3-x)=3x-2, így x=11/6, AL=7/6, (ha KL=3 egység).
A keresett arány: KA:AL=MB:BN=11:7.
3. A kifejezés értelmezési tartománya: x-2, de x1,x3,x5. Szorozzuk meg mind a két oldalt a biztosan pozitív
x+2+1x+3+2:x+4+3x+13+4

kifejezéssel, és alkalmazzuk az (a-b)(a+b)=a2-b2 azonosságot:
x+2-1x+3-4:x+4-9x+13-160,

összevonás és rendezés után:
(x+1)(x-3)(x-1)(x-5)0.

A négy elsőfokú tényező előjelének változásait és az értelmezési tartományt figyelembe véve a megoldás:
-2x-1;1<x<3;5<x.

4. Tekintsük azt a három kúpot, amelyeknek a csúcsa megegyezik az eredeti kúp csúcsaival, alaplapja a két vágásfelületen, valamit az eredeti alaplapon van. Ezek térfogatainak aránya: V1:V2:V3=1:3:6. Mivel ezek a kúpok hasonlóak, és tudjuk, hogy a térfogatok a hasonlóság arányának köbével arányosak, azért a kúpok magasságaink aránya: m1:m2:m3=1/63:1/23:1.
A feladatban keresett arány:
m1:(m2-m1):(m3-m2)=1/63:(1/23-1/63):(1-1/23)=0,55:0,243:0,206.

5. Könnyen számolható, hogy P pontja az e szimmetriatengelynek. Írjuk fel a QP Thálesz-körének, K-nak az egyenletét.
x2+(y-1,5)2=10,25.

Kiszámítjuk K és e közös pontjainak koordinátáit. Az e egyenletéből x=2y-6, ezt beírjuk K-ba, másodfokú egyenlethez jutunk, amiből y1=4,y2=1,4. A két közös pont P(2;4);T(-3,2;1,4), ahol T a QR alap felezője. A PQT derékszögű háromszög befogóinak hossza: TQ=7,2, TP=33,8. Így a PQR háromszög területe TQTP=15,6. De QP=41, a keresett magasság legyen m, ekkor a terület: QPm/2. A területre kapott eredmény összevetéséből m=31,2/414,87.
6. A rövidebb alap és a két szár legyen b, a magasság m, a hosszabb alap pedig a=b+2x. Felírjuk a terület négyzetét: t2=m2(b+x)2, de a Pitagorasz-tétel alapján m2=b2-x2. Ezek alapján 3t2=(3b-3x)(b+x)3. Alkalmazzuk a számtani és a mértani közép közötti összefüggést:
(3b-3x)(b+x)3[(3b-3x)+3(b+x)4]4.

Egyenlőség akkor és csak akkor van, ha a tagok egyenlők: 3b-3x=b+x, amiből x=b/2 adódik. Ez azt jelenti, hogy az alap és a szár hajlásszöge 60.
7. A harmadik egyenletből: b=17-ac.
Ezt beírjuk a másik két egyenletbe:

a(17-ac)+c=11c(17-ac)+a=13.

Vonjuk ki a másodikból az elsőt: (c-a)(16-ac)=2. Mivel egész számokon kell megoldani, négy eset van:
c-a=-2;   -1;     1;    2  16-ac=-1;   -2;     2;    1    vagyis  ac=17;     18;    14;    15.  

Az ac és c-a ismeretében a és c kiszámolható. Csak a negyedik esetben kapunk egész értéket: a=3, c=5, b=17-ac=2.
8. Legyen

sin2x=0,5+y,cos2x=0,5-y.

Ekkor sin8x+cos8x=(0,5+y)4+(0,5-y)4=0,125+3y2+2y40,125, mert 3y2+2y40. Tehát a legkisebb érték (y=0 mellett): 1/8.
Számadó László, Budapest