Kezdőlap


Cím:	Megoldások, eredmények az áprilisi szám mérőlapjához
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	1994/május, 257 - 259. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések alapján:

\begin{matrix} r_{1} + r_{2} & = 2 \\ r_{1} r_{2} & = 0,5. \end{matrix}

A kerületek összege:

k_{1} + k_{2} = 2 (r_{1} + r_{2}) π = 4 π

. A területek összege:

t_{1} + t_{2} = (r_{1}^{2} + r_{2}^{2}) π = ({(r_{1} + r_{2})}^{2} - 2 r_{1} r_{2}) π = 3 π

.
2. A keresett egyenes átmegy a

K L M N

téglalap

O

középpontján. Ez az egyenes a

K L

M N

oldalakat, valamint az

N K

oldalegyenest rendre az

A

B

C

pontokban metszi. Belátható, hogy

K L F

C K A

C N B

derékszögű háromszögek hasonlóak. Mivel

3 \cdot F L = K L

, azért ha

K A = x

, akkor

K C = 3 x

. A téglalap középpontos hasonlósága miatt

A L = B N = 3 - x

. Tudjuk továbbá, hogy

N C = K C - K N = 3 x - 2

. De

3 \cdot N B = N C

, ezért

3 (3 - x) = 3 x - 2

, így

x = 11 / 6

A L = 7 / 6

, (ha

K L = 3

egység).
A keresett arány:

K A : A L = M B : B N = 11 : 7

.
3. A kifejezés értelmezési tartománya:

x \geq - 2

, de

x \neq 1, x \neq 3, x \neq 5

. Szorozzuk meg mind a két oldalt a biztosan pozitív

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{x + 2} + 1}{\sqrt[]{x + 3} + 2} : \frac{\sqrt[]{x + 4} + 3}{\sqrt[]{x + 13} + 4} \end{matrix}

kifejezéssel, és alkalmazzuk az

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

azonosságot:

\begin{matrix} \frac{x + 2 - 1}{x + 3 - 4} : \frac{x + 4 - 9}{x + 13 - 16} \geq 0, \end{matrix}

összevonás és rendezés után:

\begin{matrix} \frac{(x + 1) (x - 3)}{(x - 1) (x - 5)} \geq 0. \end{matrix}

A négy elsőfokú tényező előjelének változásait és az értelmezési tartományt figyelembe véve a megoldás:

\begin{matrix} - 2 \leq x \leq - 1; 1 < x < 3; 5 < x . \end{matrix}

4. Tekintsük azt a három kúpot, amelyeknek a csúcsa megegyezik az eredeti kúp csúcsaival, alaplapja a két vágásfelületen, valamit az eredeti alaplapon van. Ezek térfogatainak aránya:

V_{1} : V_{2} : V_{3} = 1 : 3 : 6

. Mivel ezek a kúpok hasonlóak, és tudjuk, hogy a térfogatok a hasonlóság arányának köbével arányosak, azért a kúpok magasságaink aránya:

m_{1} : m_{2} : m_{3} = \sqrt[3]{1 / 6} : \sqrt[3]{1 / 2} : 1

.
A feladatban keresett arány:

\begin{matrix} m_{1} : (m_{2} - m_{1}) : (m_{3} - m_{2}) = \sqrt[3]{1 / 6} : (\sqrt[3]{1 / 2} - \sqrt[3]{1 / 6}) : (1 - \sqrt[3]{1 / 2}) = 0,55 : 0,243 : 0,206. \end{matrix}

5. Könnyen számolható, hogy

P

pontja az

e

szimmetriatengelynek. Írjuk fel a

Q P

Thálesz-körének,

K

-nak az egyenletét.

\begin{matrix} x^{2} + {(y - 1,5)}^{2} = 10,25. \end{matrix}

Kiszámítjuk

K

és

e

közös pontjainak koordinátáit. Az

e

egyenletéből

x = 2 y - 6

, ezt beírjuk

K

-ba, másodfokú egyenlethez jutunk, amiből

y_{1} = 4, y_{2} = 1,4

. A két közös pont

P (2; 4); T (- 3,2; 1,4)

, ahol

T

Q R

alap felezője. A

P Q T

derékszögű háromszög befogóinak hossza:

T Q = \sqrt[]{7,2}

T P = \sqrt[]{33,8}

. Így a

P Q R

háromszög területe

T Q \cdot T P = 15,6

. De

Q P = \sqrt[]{41}

, a keresett magasság legyen

m

, ekkor a terület:

Q P \cdot m / 2

. A területre kapott eredmény összevetéséből

m = 31,2 / \sqrt[]{41} \approx 4,87

.
6. A rövidebb alap és a két szár legyen

b

, a magasság

m

, a hosszabb alap pedig

a = b + 2 x

. Felírjuk a terület négyzetét:

t^{2} = m^{2} {(b + x)}^{2}

, de a Pitagorasz-tétel alapján

m^{2} = b^{2} - x^{2}

. Ezek alapján

3 \cdot t^{2} = (3 b - 3 x) {(b + x)}^{3}

. Alkalmazzuk a számtani és a mértani közép közötti összefüggést:

\begin{matrix} (3 b - 3 x) {(b + x)}^{3} \leq {[\frac{(3 b - 3 x) + 3 (b + x)}{4}]}^{4} . \end{matrix}

Egyenlőség akkor és csak akkor van, ha a tagok egyenlők:

3 b - 3 x = b + x

, amiből

x = b / 2

adódik. Ez azt jelenti, hogy az alap és a szár hajlásszöge

60^{\circ}

.
7. A harmadik egyenletből:

b = 17 - a c

.
Ezt beírjuk a másik két egyenletbe:

\begin{matrix} a (17 - a c) + c & = 11 \\ c (17 - a c) + a & = 13. \end{matrix}

Vonjuk ki a másodikból az elsőt:

(c - a) (16 - a c) = 2

. Mivel egész számokon kell megoldani, négy eset van:

\begin{matrix} c - a = - 2; & - 1; & 1; & 2 \\ 16 - a c = - 1; & - 2; & 2; & 1 \\ vagyis & a c = 17; & 18; & 14; & 15. \end{matrix}

a c

és

c - a

ismeretében

a

és

c

kiszámolható. Csak a negyedik esetben kapunk egész értéket:

a = 3

c = 5

b = 17 - a c = 2

.
8. Legyen

\begin{matrix} sin^{2} x & = 0,5 + y, \\ cos^{2} x & = 0,5 - y . \end{matrix}

Ekkor

sin^{8} x + cos^{8} x = {(0,5 + y)}^{4} + {(0,5 - y)}^{4} = 0,125 + 3 y^{2} + 2 y^{4} \geq 0,125

, mert

3 y^{2} + 2 y^{4} \geq 0

. Tehát a legkisebb érték (

y = 0

mellett):

1 / 8

Számadó László, Budapest