A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések alapján:
A kerületek összege: . A területek összege: . 2. A keresett egyenes átmegy a téglalap középpontján. Ez az egyenes a , oldalakat, valamint az oldalegyenest rendre az , , pontokban metszi. Belátható, hogy , , derékszögű háromszögek hasonlóak. Mivel , azért ha , akkor . A téglalap középpontos hasonlósága miatt . Tudjuk továbbá, hogy . De , ezért , így , , (ha egység). A keresett arány: . 3. A kifejezés értelmezési tartománya: , de . Szorozzuk meg mind a két oldalt a biztosan pozitív
kifejezéssel, és alkalmazzuk az azonosságot:
| |
összevonás és rendezés után:
A négy elsőfokú tényező előjelének változásait és az értelmezési tartományt figyelembe véve a megoldás:
4. Tekintsük azt a három kúpot, amelyeknek a csúcsa megegyezik az eredeti kúp csúcsaival, alaplapja a két vágásfelületen, valamit az eredeti alaplapon van. Ezek térfogatainak aránya: . Mivel ezek a kúpok hasonlóak, és tudjuk, hogy a térfogatok a hasonlóság arányának köbével arányosak, azért a kúpok magasságaink aránya: . A feladatban keresett arány:
| |
5. Könnyen számolható, hogy pontja az szimmetriatengelynek. Írjuk fel a Thálesz-körének, -nak az egyenletét.
Kiszámítjuk és közös pontjainak koordinátáit. Az egyenletéből , ezt beírjuk -ba, másodfokú egyenlethez jutunk, amiből . A két közös pont , ahol a alap felezője. A derékszögű háromszög befogóinak hossza: , . Így a háromszög területe . De , a keresett magasság legyen , ekkor a terület: . A területre kapott eredmény összevetéséből . 6. A rövidebb alap és a két szár legyen , a magasság , a hosszabb alap pedig . Felírjuk a terület négyzetét: , de a Pitagorasz-tétel alapján . Ezek alapján . Alkalmazzuk a számtani és a mértani közép közötti összefüggést:
| |
Egyenlőség akkor és csak akkor van, ha a tagok egyenlők: , amiből adódik. Ez azt jelenti, hogy az alap és a szár hajlásszöge . 7. A harmadik egyenletből: . Ezt beírjuk a másik két egyenletbe:
Vonjuk ki a másodikból az elsőt: . Mivel egész számokon kell megoldani, négy eset van:
Az ac és c-a ismeretében a és c kiszámolható. Csak a negyedik esetben kapunk egész értéket: a=3, c=5, b=17-ac=2. 8. Legyen
sin2x=0,5+y,cos2x=0,5-y.
Ekkor sin8x+cos8x=(0,5+y)4+(0,5-y)4=0,125+3y2+2y4≥0,125, mert 3y2+2y4≥0. Tehát a legkisebb érték (y=0 mellett): 1/8.
|