Cím: Megoldásvázlatok, erdmények a februári szám mérőlapjához
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1994/április, 183 - 185. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. Az egyenletnek x=3,x=-3 és x=0 kivételével minden valós számra van értelme. Az egyenlet mindkét oldalát x(x-3)(x+3)-mal szorozva, majd rendezve x2-8x+15=0 egyenlethez jutunk. Az adott egyenlet egyetlen megoldása x=5.

2. Legyen a téglalap rövidebb oldala a, a hosszabb oldala ekkor aq, az átlóinak hossza aq2 és nyilván q>1. A Pitagorasz-tétel alkalmazásával:
(aq2)2=(aq)2+a2,
ahonnan a mértani sorozat hányadosa:
q=1+52.
Ha α és β az átlóknak az oldalakkal bezárt szögei, akkor tgα=q és tgβ=1q, α=51,83 és β=38,17.

3. a) A négyzetgyök és a logaritmus értelmezése miatt x>0. Alakítsuk át az egyenletet, majd vegyük mindkét oldal tízes alapú logaritmusát:
x2lgx4=102,
(lgx)2=4,lgx=2,lgx=-2.
Az egyenlet megoldásai: x1=100, x2=0,01.
b) Átalakításokkal
22x+352x+3=2x+653x,2x-3=5x-3(25)x-3=1.
Az egyenlet megoldása: x=3.

4. Legyen a számtani sorozat első négy eleme a-d,a,a+d,a+2d. A feltételek szerint 4a+2d=20 és
a2+(a+2d)2=2((a-d)2+(a+d)2),
azaz 2a+d=10 és a(a-2d)=0.
Ha a=0, akkor d=10, ha a=2d, akkor a=4,d=2.
A sorozat első négy eleme: -10, 0, 10, 20, vagy 2, 4, 6, 8.

5. A téglalap B csúcsa rajta van az A ponton átmenő, AD-re merőleges egyenesen, mégpedig úgy, hogy AB=3AD. Ezt a követelményt két pont (B1,B2) is teljesíti, amelyek koordinátáit helyvektorok alkalmazásával kaphatjuk meg, B1(5;9),B2(-1;-9). Az AB1C1D téglalap köré írt kör egyenlete (x-2)2+(y-5)2=25. Ez a kör az x-tengelyt érinti, az y-tengelyből kimetszett szakasz hossza 221 egység. Az AB2C2D téglalap köré írt kör egyenlete (x+1)2+(y+4)2=25. Ez a kör az x-tengelyből 6, az y-tengelyből 46 egység hosszúságú szakaszt metsz ki.

6. Legyen az AC és BD húrok metszéspotnja P és a feltételek miatt AP=x,PC=8x,DP=2y,PB=3y. A rövidebb DC ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők, DAC=DBC=α; a rövidebb AB ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők, ADB=ACB=δ, és α+δ=π2.
Az APD és a BPC derékszögű háromszögek hasonlóságából következik, hogy
3x8x=3y2y,4x2=y2,
ezért y=2x.
Jelölje O a kör középpontját. A COD=2α, a CD ív hossza 2α, ha az α szöget radiánban mérjük. Mivel tgα=2y3x=4x3x=43, α=0,9273, 2α=1,8546, tehát a CD ív hossza 1,855 egység. AB=2δ=π-2α=1,287 egység.
Hasonlóan adódik, hogy
AD=0,928  egység, és  BC=2,214  egység.


7. Jelölje a téglatest alapéleinek hosszát x és y, az oldalélének hosszát z. A feltételek szerint
xy=4x+y+z=10.
A téglatest felszíne
A=2(4+(x+y)z)=2(4+(10-z)z)=58-2(z-5)2,  ahol  0<z<10.
Látható, hogy A58, és az egyenlőség, a maximális felszínérték (58), akkor adódik, ha z=5.
Ekkor x+y=5 (és xy=4).
A maximális felszínű téglatest élei: 1, 4, 5 egység, a maximális felszín 58 területegység.

8. Az egyenlet jobb oldalán álló kifejezés
2(y-2)2+220+2=1
;
az 1 értéket csak y=2 esetén veszi fel.
A számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenségből következik, hogy a2+1a22 és a2+1a2 csak akkor 2, ha a2=1.
Ezek szerint
cos2(xy)+1cos2(xy)2,
ahol az egyenlőség cos2(xy)=1 esetén teljesül.
A megoldandó egyenlet bal oldalán álló kifejezésnek akkor van értelme, ha cos2(xy)0. A kettő alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton növekedő, ezért
log2(cos2(xy)+1cos2(xy))log22=1,
és az 1 értéket cos2(xy)=1 esetén veszi fel.
Az egyenletnek tehát azok a valós (x;y) számpárok a megoldásai, amelyekre mindkét oldal helyettesítési értéke 1.
Így y=2 és cos2(2x)=1, azaz
1+cos4x2=1,cos4x=1,4x=3kπ,x=kπ2,kZ.
Az adott egyenletet az x=kπ2(kZ),y=2 számpárok elégítik ki.
Rábai Imre, Budapest