Kezdőlap


Cím:	Megoldásvázlatok, erdmények a februári szám mérőlapjához
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1994/április, 183 - 185. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Az egyenletnek $x = 3, x = - 3$ és $x = 0$ kivételével minden valós számra van értelme. Az egyenlet mindkét oldalát $x (x - 3) (x + 3)$ -mal szorozva, majd rendezve $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ egyenlethez jutunk. Az adott egyenlet egyetlen megoldása $x = 5$ .

2. Legyen a téglalap rövidebb oldala $a$ , a hosszabb oldala ekkor $a q$ , az átlóinak hossza $a q^{2}$ és nyilván $q > 1$ . A Pitagorasz-tétel alkalmazásával:

\begin{matrix} {(a q^{2})}^{2} = {(a q)}^{2} + a^{2}, \end{matrix}

ahonnan a mértani sorozat hányadosa:

\begin{matrix} q = \sqrt[]{\frac{1 + \sqrt[]{5}}{2}} . \end{matrix}

α

és

β

az átlóknak az oldalakkal bezárt szögei, akkor

tg α = q

és

tg β = \frac{1}{q}

α = 51,83^{\circ}

és

β = 38, 17^{\circ}

.

3. a) A négyzetgyök és a logaritmus értelmezése miatt

x > 0

. Alakítsuk át az egyenletet, majd vegyük mindkét oldal tízes alapú logaritmusát:

\begin{matrix} x^{\frac{2 lg x}{4}} = 10^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} {(lg x)}^{2} = 4, lg x = 2, lg x = - 2. \end{matrix}

Az egyenlet megoldásai:

x_{1} = 100

x_{2} = 0,01

.
b) Átalakításokkal

\begin{matrix} \begin{matrix} 2^{2 x + 3} \cdot 5^{2 x + 3} & = 2^{x + 6} \cdot 5^{3 x}, \\ 2^{x - 3} & = 5^{x - 3} \\ {(\frac{2}{5})}^{x - 3} & = 1. \end{matrix} \end{matrix}

Az egyenlet megoldása:

x = 3

.

4. Legyen a számtani sorozat első négy eleme

a - d, a, a + d, a + 2 d

. A feltételek szerint

4 a + 2 d = 20

és

\begin{matrix} a^{2} + {(a + 2 d)}^{2} = 2 ({(a - d)}^{2} + {(a + d)}^{2}), \end{matrix}

azaz

2 a + d = 10

és

a (a - 2 d) = 0

.
Ha

a = 0

, akkor

d = 10

, ha

a = 2 d

, akkor

a = 4, d = 2

.
A sorozat első négy eleme: -10, 0, 10, 20, vagy 2, 4, 6, 8.

5. A téglalap

B

csúcsa rajta van az

A

ponton átmenő,

A D

-re merőleges egyenesen, mégpedig úgy, hogy

A B = 3 \cdot A D

. Ezt a követelményt két pont

(B_{1}, B_{2})

is teljesíti, amelyek koordinátáit helyvektorok alkalmazásával kaphatjuk meg,

B_{1} (5; 9), B_{2} (- 1; - 9) .

A B_{1} C_{1} D

téglalap köré írt kör egyenlete

{(x - 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25

. Ez a kör az

x

-tengelyt érinti, az

y

-tengelyből kimetszett szakasz hossza

2 \sqrt[]{21}

egység. Az

A B_{2} C_{2} D

téglalap köré írt kör egyenlete

{(x + 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25

. Ez a kör az

x

-tengelyből 6, az

y

-tengelyből

4 \sqrt[]{6}

egység hosszúságú szakaszt metsz ki.

6. Legyen az

A C

és

B D

húrok metszéspotnja

P

és a feltételek miatt

A P = x, P C = 8 x, D P = 2 y, P B = 3 y

. A rövidebb

D C

ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők,

D A C ∢ = D B C ∢ = α

; a rövidebb

A B

ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők,

A D B ∢ = A C B ∢ = δ

, és

α + δ = \frac{π}{2}

.
Az

A P D

és a

B P C

derékszögű háromszögek hasonlóságából következik, hogy

\begin{matrix} 3 x \cdot 8 x = 3 y \cdot 2 y, 4 x^{2} = y^{2}, \end{matrix}

ezért

y = 2 x

.
Jelölje

O

a kör középpontját. A

C O D ∢ = 2 α

, a

C D

ív hossza

2 α

, ha az

α

szöget radiánban mérjük. Mivel

tg α = \frac{2 y}{3 x} = \frac{4 x}{3 x} = \frac{4}{3}

α = 0,9273

2 α = 1,8546

, tehát a

C D

ív hossza 1,855 egység.

A B = 2 δ = π - 2 α = 1,287

egység.
Hasonlóan adódik, hogy

\begin{matrix} A D = 0,928 egység, és B C = 2,214 egység. \end{matrix}

7. Jelölje a téglatest alapéleinek hosszát

x

és

y

, az oldalélének hosszát

z

. A feltételek szerint

\begin{matrix} x y = 4 x + y + z = 10. \end{matrix}

A téglatest felszíne

\begin{matrix} A = 2 (4 + (x + y) z) = 2 (4 + (10 - z) z) = 58 - 2 {(z - 5)}^{2}, ahol 0 < z < 10. \end{matrix}

Látható, hogy

A \leq 58

, és az egyenlőség, a maximális felszínérték (58), akkor adódik, ha

z = 5

.
Ekkor

x + y = 5

(és

x y = 4

).
A maximális felszínű téglatest élei: 1, 4, 5 egység, a maximális felszín 58 területegység.

8. Az egyenlet jobb oldalán álló kifejezés

\begin{matrix} \frac{2}{{(y - 2)}^{2} + 2} \geq \frac{2}{0 + 2} = 1 \end{matrix}

;
az 1 értéket csak

y = 2

esetén veszi fel.
A számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenségből következik, hogy

a^{2} + \frac{1}{a^{2}} \geq 2

és

a^{2} + \frac{1}{a^{2}}

csak akkor 2, ha

a^{2} = 1

.
Ezek szerint

\begin{matrix} cos^{2} (x y) + \frac{1}{cos^{2} (x y)} \geq 2, \end{matrix}

ahol az egyenlőség

cos^{2} (x y) = 1

esetén teljesül.
A megoldandó egyenlet bal oldalán álló kifejezésnek akkor van értelme, ha

cos^{2} (x y) \neq 0

. A kettő alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton növekedő, ezért

\begin{matrix} log_{2} (cos^{2} (x y) + \frac{1}{cos^{2} (x y)}) \geq log_{2} 2 = 1, \end{matrix}

és az 1 értéket

cos^{2} (x y) = 1

esetén veszi fel.
Az egyenletnek tehát azok a valós

(x; y)

számpárok a megoldásai, amelyekre mindkét oldal helyettesítési értéke 1.
Így

y = 2

és

cos^{2} (2 x) = 1

, azaz

\begin{matrix} \frac{1 + cos 4 x}{2} = 1, cos 4 x = 1, 4 x = 3 k π, x = k \cdot \frac{π}{2}, k \in Z . \end{matrix}

Az adott egyenletet az

x = k \cdot \frac{π}{2} (k \in Z), y = 2

számpárok elégítik ki.

Rábai Imre, Budapest