Cím: Megoldásvázlatok az 1993. októberi szám mérőlapjához
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1993/november, 382 - 383. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. A Pitagorasz-tétel, a magasságtétel és a befogótétel alkalmazásával p2=6,52-62; p=2,5; 62=2,5q; q=14,4; c=p+q=16,9 és b2=14,416,9; b=15,6 egység, ahol p, illetve q a befogók merőleges vetülete a c átfogón, b pedig a másik befogó.
 

2. Legyen BC=a és AC=b, ahol most b>a>1 (miért?). A szinusztétel alkalmazásával a=23b, a koszinusztétel alkalmazásával a2=1+b2-b2, így a feltételeknek megfelelően a=3+1,b=32(3+1) egység.
 

3. Legyen az első négy szám a-3t,a-t,a+t,a+3t, ahol a sorozat különbsége d=2t. A feltételek szerint 4a=-36 és a2-t2=72, ahonnan a=-9,t2=9,t1=-3,t2=3.
Ha t=-3, akkor az első négy szám 0,-6,-12,-18, így az ötödik -27, ha t=3, akkor az első négy szám -18,-12,-6,0, így az ötödik szám is 0. (Most q=0, így -6 a mértani sorozat első eleme, így a sorozat minden további eleme 0.)
 

4. Az e egyenes egy pontjának koordinátái: x=t,y=t+1,tR, az f egyenes egy pontjának koordinátái x=11-2p,y=p,pR. Olyan t (és p) értékeket keresünk, amelyekre a feltétel teljesül, azaz
t+2(11-2p)3=4ést+1+2p3=1,ahonnant=-2,(p=2).
Az E(-2,-1) pont is rajta van a keresett egyenesen, tehát ennek egyenlete:
x-3y=1.
 

5. Ha p<0, akkor az egyenletnek nincs megoldása. Ha p=0, akkor
log2x=0, vagy log2x=4, így x1=1,x2=16. Ha p>0, akkor

(log2x)2-4log2x+p2=0.(1)


Az (1) egyenlet diszkriminánsa D=16-4p2.
Ha D<0, azaz ha p>2, akkor az adott egyenletnek nincs megoldása;
ha D=0, azaz p=2, akkor egyetlen megoldás van, log2x=2,x3=4;
ha D>0, azaz 0<p<2, akkor két megoldás van, x4=22+4-p2, x5=22-4-p2.
 

6. A bal oldalnak akkor van értelme, ha 1-x0 és 11-x, azaz x1 és x0.
Érdemes új változót bevezetni. Legyen 1-x=y(0), ekkor x=1-y2, tehát

((1-y)(1+y))2(1-y)2<9-(1-y2),y2+2y+1<8+y2,y<72,1-x<72.
A feltételeket figyelembe véve adódik a megoldás: -454<x<0  vagy  0<x1.
 

7. A következő ismert azonosságokat alkalmazhatjuk:

cos2x=1+cos2x2,cosx+cosy=2cosx+y2cosx-y2,cos(π-x)=-cosx,cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny,cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny.


Ezek alkalmazásával
cos2α+cos2β+cos2γ+2cosαcosβcosγ==1+cos2α2+1+cos2β2+cos2(α+β)-2cosαcosβcos(α+β)==1+12(2cos(α+β)cos(α-β)+(cos(α+β))(cos(α+β)-2cosαcosβ)==1+cos(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)cos(α-β)=1.
 

8. Az egyenlet
(2k-1)n(x2+(k-n-4)x-2(k-n-2))=1
alakban írható. Mivel k,n és x is egész, ezért |2k-1|=1, és |n|=1 kell, hogy teljesüljön, azaz k=1 vagy k=0, illetve n=1 vagy n=-1.
Ha k=1 és n=1, akkor x2-4x+3=0,x1=1 vagy x2=3;
ha k=1,n=-1, akkor x2-2x+1=0,x1=x2=1.
Ha k=0 és n=1 vagy n=-1, akkor x nem egész.