Cím: Megoldásvázlatok az 1993. februári szám mérőlapjához
Szerző(k):  Számadó László 
Füzet: 1993/március, 112 - 113. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

Megoldásvázlatok, eredmények a februári szám mérőlapjához
 


1. Két ilyen kúp van:
3V1=x12x2,
3V2=x22x1,
3(V1+V2)/π=(x12x2+x22x1)=x1x2(x1+x2)=5716.
Vagyis V1+V2=304π.
 

2. A háromszög területére ismert képletek:
t=ra(s-a)=rb(s-b)=rc(s-c)=rs,
ahol r a beírt kör sugara. Szorozzuk össze ezt a négy egyenletet:
t4=rarbrcrs(s-a)(s-b)(s-c).
De
s(s-a)(s-b)(s-c)=t2,
ezért t2=rarbrcr. Így t=84 területegység, az oldalak pedig 13,14,15 egység hosszúak.
 

3. Három nemnegatív valós szám összege csak úgy lehet nulla, ha mindegyik nulla. A 13 és a -5 az elsőt, a 13 és a -13 a másodikat teszi nullává, igy ha van megoldás, az csak a 13 lehet. Az x=13 esetén a harmadik kifejezésből a p=-20 adódik.
 

4. A köréírt kör középpontja K(4;4). A feltételek alapján az egyik magasság merőleges az x tengelyre, ezért az A csúcs (2;10). Tudjuk, hogy a magasságpontot az oldal egyenesére tükrözve a kép a köréírt körön lesz. Ezt felhasználva: M'(2;-2). Az MM' felezőpontja (2;2), rajta van az x tengellyel párhuzamos oldalon. Számolással kapjuk: B(-2;2),C(10;2),a=12,b=82,c=45, valamint t=48 területegység. A t=ϱs képlet segítségével kapjuk a beírt kör sugarát, ϱ=48/(6+42+25)3.
 

5. Az értelmezési tartományt az x2-8x+15>0 feltétel adja, amiből x<3 vagy 5<x következik.
Az egyenlet y2-(a+b+1)y+(a+b)=0 alakú egyenletté rendezhető, ahol y=log3(x2-8x+15),a+b=log35+log37=log335. Így y1=log335,y2=1(=log33). Ezekből x1=-2,x2=10,x3=2,x4=6.
A kapott gyökök benne vannak az értelmezési tartományban. Ellenőrzéssel a helyességükről is meggyőződhetünk.
 

6. Az z=sin2x helyettesítéssel és rendezéssel kapjuk:
z2+z+1z+1z2=21+cosy.

A z = 0 nyilván nem gyök, így z > 0. Az egyenlet egyik oldalán két pozitív szám és a reciprokuk szerepel, ezért ez az oldal nagyobb vagy egyenlő 4. Vagyis cosy=1,z=sin2x=1 kell, hogy legyen. Ebből sinx=1 vagy sinx=-1 adódik. A megoldás: x=π2+k1π,y2=2k2π, ahol k1 és k2 egész.
 

7. A keresett pont koordinátái (cosα;sinα). Az α szög meghatározásával a pont is ismert lesz az egység sugarú körön. x2+xy+y2=cos2a+cosαsinα+sin2α=1+0,5sin2α, ez akkor maximális, ha sin2α=1, amiből α=45 vagy α=225. 1+0,5sin2α akkor minimális, ha sin2α=-1, amiből α=135 vagy α=315.