Kezdőlap


Cím:	Megoldásvázlatok az 1993. februári szám mérőlapjához
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	1993/március, 112 - 113. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldásvázlatok, eredmények a februári szám mérőlapjához

1. Két ilyen kúp van:

\begin{matrix} 3 V_{1} / π = x_{1}^{2} x_{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} 3 V_{2} / π = x_{2}^{2} x_{1}, \end{matrix}

\begin{matrix} 3 (V_{1} + V_{2}) / π = (x_{1}^{2} x_{2} + x_{2}^{2} x_{1}) = x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) = 57 \cdot 16. \end{matrix}

Vagyis

V_{1} + V_{2} = 304 π .

2. A háromszög területére ismert képletek:

\begin{matrix} t = r_{a} (s - a) = r_{b} (s - b) = r_{c} (s - c) = r s, \end{matrix}

ahol

r

a beírt kör sugara. Szorozzuk össze ezt a négy egyenletet:

\begin{matrix} t^{4} = r_{a} r_{b} r_{c} r s (s - a) (s - b) (s - c) . \end{matrix}

\begin{matrix} s (s - a) (s - b) (s - c) = t^{2}, \end{matrix}

ezért

t^{2} = r_{a} r_{b} r_{c} r .

Így

t = 84

területegység, az oldalak pedig

13,14,15

egység hosszúak.

3. Három nemnegatív valós szám összege csak úgy lehet nulla, ha mindegyik nulla. A

13

és a

- 5

az elsőt, a

13

és a

- 13

a másodikat teszi nullává, igy ha van megoldás, az csak a

13

lehet. Az

x = 13

esetén a harmadik kifejezésből a

p = - 20

adódik.

4. A köréírt kör középpontja

K (4; 4)

. A feltételek alapján az egyik magasság merőleges az

x

tengelyre, ezért az

A

csúcs

(2; 10)

. Tudjuk, hogy a magasságpontot az oldal egyenesére tükrözve a kép a köréírt körön lesz. Ezt felhasználva:

M' (2; - 2)

. Az

M M'

felezőpontja

(2; 2)

, rajta van az

x

tengellyel párhuzamos oldalon. Számolással kapjuk:

B (- 2; 2), C (10; 2), a = 12, b = 8 \sqrt[]{2}, c = 4 \sqrt[]{5}

, valamint

t = 48

területegység. A

t = ϱ \cdot s

képlet segítségével kapjuk a beírt kör sugarát,

ϱ = 48 / (6 + 4 \sqrt[]{2} + 2 \sqrt[]{5}) \approx 3

5. Az értelmezési tartományt az

x^{2} - 8 x + 15 > 0

feltétel adja, amiből

x < 3

vagy

5 < x

következik.
Az egyenlet

y^{2} - (a + b + 1) y + (a + b) = 0

alakú egyenletté rendezhető, ahol

y = log_{3} (x^{2} - 8 x + 15), a + b = log_{3} 5 + log_{3} 7 = log_{3} 35

. Így

y_{1} = log_{3} 35, y_{2} = 1 (= log_{3} 3)

. Ezekből

x_{1} = - 2, x_{2} = 10, x_{3} = 2, x_{4} = 6

.
A kapott gyökök benne vannak az értelmezési tartományban. Ellenőrzéssel a helyességükről is meggyőződhetünk.

6. Az

z = sin^{2} x

helyettesítéssel és rendezéssel kapjuk:

\begin{matrix} z^{2} + z + \frac{1}{z} + \frac{1}{z^{2}} = 2^{1 + cos y} . \end{matrix}

z

= 0 nyilván nem gyök, így

z

> 0. Az egyenlet egyik oldalán két pozitív szám és a reciprokuk szerepel, ezért ez az oldal nagyobb vagy egyenlő

4

. Vagyis

cos y = 1, z = sin^{2} x = 1

kell, hogy legyen. Ebből

sin x = 1

vagy

sin x = - 1

adódik. A megoldás:

x = \frac{π}{2} + k_{1} π, y_{2} = 2 k_{2} π

, ahol

k_{1}

és

k_{2}

egész.

7. A keresett pont koordinátái (

cos α; sin α

). Az

α

szög meghatározásával a pont is ismert lesz az egység sugarú körön.

x^{2} + x y + y^{2} = cos^{2} a + cos α sin α + sin^{2} α = 1 + 0,5 sin 2 α

, ez akkor maximális, ha

sin 2 α = 1

, amiből

α = 45^{\circ}

vagy

α = 225^{\circ}

1 + 0,5 sin 2 α

akkor minimális, ha

sin 2 α = - 1

, amiből

α = 135^{\circ}

vagy

α = 315^{\circ}