Cím: Megoldásvázlatok, eredmények az 1991. decemberi szám mérőlapjához
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1992/január, 7. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. A számláló (32-12)(-62)=-62, a nevező -12-12=-2, a hányados 6.
 

2. Jelölje x és y a két alapból az érintési pont és a ferde szár közé eső darabot, yx. Így a ferde szár x+y. Az alapokra merőleges szár 2r=4, egyben a magasság. A középvonal hossza tm=184=12(2+x+2+y), innen x+y=5. Az alapok különbsége y-x=52-42=3, tehát y=4,x=1. Az alapok 6 és 3, a szárak 4 és 5.
 

3. A sinx=u ismeretlenre 4u2+8u+3=0,u1=-0,5 és |u2|>1, nem használható.
x1=π6+2kπ,x2=-5π6+2mπ,k,mZ.

4. A középpont az AB szakasz felező merőlegesére is illeszkedik, egyenlete (x-1)2+(y-2)2=(x-4)2+(y-5)2,  azaz  x+y=6. A középpont: K(4,2), a sugár KA=3, a kívánt egyenlet: (x+4)2+(y-2)2=9, másképpen: x2+y2-8x-4y+11=0.
 

5. A logaritmusnak csak akkor van értelme, ha x>0 és x1. A jobb oldal akkor nem negatív, ha y=lg2x<0, azaz 0<x<1.
lgx4=lgx22=2lgx2=2lg2x=2y.
A 2+2y=12y2 egyenletből 1y=2±1024. Csak az egyik gyök negatív, lg2x=-13,x=18.
 

6.

23=tg  αtg  β=sinαsinβcosβ1cosα==aba2+c2-b22ac2bcb2+c2-a2=a2+c2-b2b2+c2-a2.

Hasonlóan
24=tg  αtg  γ=a2+b2-c2b2+c2-a2.
E két egyenletből 5a2-5b2+c2=0 és 3a2+b2-3c2=0. (A harmadik ilyen egyenlet nem független ezektől.) A két egyenletből az ismeretlenek arányát lehet meghatározni: a2:b2:c2=7:9:10, tehát a:b:c=7:3:10.
 

7. Legyen ABP a P-nél derékszögű háromszög, és P az AB egyenessel kettévágott sík C-t nem tartalmazó félsíkján van. A P-nél lévő szög felezője átmegy az ABP háromszög köré írt körből a másik félsíkon lévő AB ív K felezőpontján, így lesz az AK és BK ívek egyenlősége miatt APK=BPK. (Ez tetszőleges háromszögben igaz.) A mi esetünkben K az AB átmérő fölé befelé írt félkörív felezőpontja, ABK egyenlő szárú derékszögű háromszög, vagyis K a négyzet átlóinak metszéspontja, szimmetriaközéppontja. A négyzetnek a felező két oldalán lévő darabjai egybevágók, egyenlő területűek.
 

8. A feltétel mellett
I. vagy  x=yII. vagy  x=-y,

az egyenlőtlenség bal oldala így egyszerűsödik:
(8+p)x2-2x+116.(8-p)x2+116.

Ezek akkor nem negatívok, ha egyrészt x2 együtthatója pozitív, azaz
p>-8p8,

és ez a II. esetben elegendő is. Az I. esetben az is kell, hogy a diszkrimináns határozattan negatív legyen, azaz 4-8+p4<0,p>8.
 

Mivel p-re mind a három feltételnek teljesülnie kell, ezért az egyetlen szóba jövő érték p=8, ekkor a megadott egyenlőtlenség (2(x+y)+14)20 alakú.