Kezdőlap


Cím:	Megoldásvázlatok, eredmények az 1991. decemberi szám mérőlapjához
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1992/január, 7 - 8. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. A számláló $(\frac{3}{2} - \frac{1}{2}) \cdot (- 6 \sqrt[]{2}) = - 6 \sqrt[]{2},$ a nevező $- \frac{1}{\sqrt[]{2}} - \frac{1}{\sqrt[]{2}} = - \sqrt[]{2},$ a hányados $6$ .

2. Jelölje

x

és

y

a két alapból az érintési pont és a ferde szár közé eső darabot,

y ⩾ x

. Így a ferde szár

x + y

. Az alapokra merőleges szár

2 r = 4

, egyben a magasság. A középvonal hossza

\frac{t}{m} = \frac{18}{4} = \frac{1}{2} (2 + x + 2 + y)

, innen

x + y = 5

. Az alapok különbsége

y - x = \sqrt[]{5^{2} - 4^{2}} = 3,

tehát

y = 4, x = 1.

Az alapok 6 és 3, a szárak 4 és 5.

3. A

sin x = u

ismeretlenre

4 u^{2} + 8 u + 3 = 0, u_{1} = - 0,5

és

| u_{2} | > 1,

nem használható.

\begin{matrix} x_{1} = - \frac{π}{6} + 2 k π, x_{2} = - \frac{5 π}{6} + 2 m π, k, m \in Z . \end{matrix}

4. A középpont az

A B

szakasz felező merőlegesére is illeszkedik, egyenlete

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = {(x - 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2}, azaz x + y = 6

. A középpont:

K (4,2),

a sugár

K A = 3,

a kívánt egyenlet:

{(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9,

másképpen:

x^{2} + y^{2} - 8 x - 4 y + 11 = 0.

5. A logaritmusnak csak akkor van értelme, ha

x > 0

és

x \neq 1 .

A jobb oldal akkor nem negatív, ha

y = lg_{2} x < 0

, azaz

0 < x < 1.

\begin{matrix} lg_{x} 4 = lg_{x} 2^{2} = 2 lg_{x} 2 = \frac{2}{lg_{2} x} = \frac{2}{y} . \end{matrix}

2 + \frac{2}{y} = \frac{12}{y^{2}}

egyenletből

\frac{1}{y} = \frac{2 \pm 10}{24}

. Csak az egyik gyök negatív,

lg_{2} x = - \frac{1}{3}, x = \frac{1}{8} .

\begin{matrix}  \end{matrix}

\begin{matrix}  \end{matrix}

23=tg αtg β=sinαsinβ⋅cosβ⋅1cosα==ab⋅a2+c2-b22ac⋅2bcb2+c2-a2=a2+c2-b2b2+c2-a2.

Hasonlóan

\begin{matrix} \frac{2}{4} = \frac{tg α}{tg γ} = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{b^{2} + c^{2} - a^{2}} . \end{matrix}

E két egyenletből

5 a^{2} - 5 b^{2} + c^{2} = 0

és

3 a^{2} + b^{2} - 3 c^{2} = 0

. (A harmadik ilyen egyenlet nem független ezektől.) A két egyenletből az ismeretlenek arányát lehet meghatározni:

a^{2} : b^{2} : c^{2} = 7 : 9 : 10

, tehát

a : b : c = \sqrt[]{7} : 3 : \sqrt[]{10} .

7. Legyen

A B P

P

-nél derékszögű háromszög, és

P

A B

egyenessel kettévágott sík

C

-t nem tartalmazó félsíkján van. A P-nél lévő szög felezője átmegy az

A B P

háromszög köré írt körből a másik félsíkon lévő

A B

ív

K

felezőpontján, így lesz az

A K

és

B K

ívek egyenlősége miatt

A P K ∢ = B P K ∢

. (Ez tetszőleges háromszögben igaz.) A mi esetünkben

K

A B

átmérő fölé befelé írt félkörív felezőpontja,

A B K

egyenlő szárú derékszögű háromszög, vagyis

K

a négyzet átlóinak metszéspontja, szimmetriaközéppontja. A négyzetnek a felező két oldalán lévő darabjai egybevágók, egyenlő területűek.

8. A feltétel mellett

\begin{matrix} I. vagy x = y II. vagy x = - y, \end{matrix}

az egyenlőtlenség bal oldala így egyszerűsödik:

\begin{matrix} (8 + p) x^{2} - 2 x + \frac{1}{16} . (8 - p) x^{2} + \frac{1}{16} . \end{matrix}

Ezek akkor nem negatívok, ha egyrészt

x^{2}

együtthatója pozitív, azaz

\begin{matrix} p > - 8 p \leq 8, \end{matrix}

és ez a II. esetben elegendő is. Az I. esetben az is kell, hogy a diszkrimináns határozattan negatív legyen, azaz

4 - \frac{8 + p}{4} < 0, p > 8.

Mivel

p

-re mind a három feltételnek teljesülnie kell, ezért az egyetlen szóba jövő érték p=8, ekkor a megadott egyenlőtlenség

{(2 (x + y) + \frac{1}{4})}^{2} \geq 0

alakú.