Cím: Megoldásvázlatok, eredmények az 1991. novemberi szám mérőlapjához
Füzet: 1991/december, 450 - 451. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. Legyen a hatszög középpontja O, ekkor ODEF rombusz, H az OE sugarat is felezi, OH=BG, másrészt AOH=120=ABG. Az A körüli 60-os elfordítás az ABG töröttvonaldarabot AOH-ba viszi át. Így GAH=60, tehát GH=AG=AH.
A koszinusztétellel AG2=AB2(1+14-cos120)=7AB24. A két terület mértékszámának 43 szorosai AG2 és 6AB2, arányuk 7:24.
 

2. A föltevés: 27(10b+a-10a-b)+47=1001a+110b. Innen
a=47+133b1244=1-1197-133b12441,
mert a kezdő számjegy. A számláló csak 0 lehet, a keresett szám 1991.
 

3. A zárójelbeli kifejezés pozitív, mert (valós) logaritmusa csak pozitív számnak van. Sőt legalább 1 az értéke, különben a gyökjel alatt negatív szám állna. A tízes alapú logaritmus monoton növő függvény. Mármost x2+2x-151 akkor teljesül, ha vagy
x-1-17(-5,123...)vagy pedigx-1+17(+3,123...).

4. A definíció szerint az OAn+4 szakasz az OA4-nek 4-szeres nagyítása az O centrumból, az A5A6A7A8A9 vonalelem 4-szerese az A1A2A3A4A5-nek s í.t. A kívánt vonal 25 ilyen elemből áll össze. Az első elem hossza a1=2+2+22+4=3(2+2, a mértani sorozat összege a1(425-1):(4-1)=(2+2(250-1). (Az eredményben a tizedes vessző előtt 16 számjegy áll.)
 

5. Az a2b=2a2+4ab föltevésből ab=2a+4b, hiszen a pozitív. Továbbá
a=4bb-2=4+8b-2,
vagyis (b-2) pozitív osztója a 8-nak, értéke 1,2,4, és 8 lehet. Az oszlop magassága b=3,4,6 és 10 lehet, alapéle pedig rendre a=12,8,6 és 5. A harmadik megoldás különleges négyzetes oszlop: kocka.
 

6. Legyen a szögek jele ϵ,ζ,η és θ (tetszőleges sorrendben). Az ϵ+ζ és η+θ pozitív számokra a számtani és a mértani közepek nagyságviszonya alapján, majd mivel a négyszög szögeinek összege 2π, azért
(ϵ+ζ)(η+θ)((ϵ+ζ)+(η+θ)2)2=π2.

7. A következő jelölésekkel: TA=c1,TB=c2 és TC=m, a CP2 és CQ2 kifejezések közös értéke c12+c22+m2.
 

8. Az egyenlet valós megoldásaiban
p=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-sin22x2.

A kivonandó 0 és 12 közé esik, tehát 1p12. Ennélfogva a feladat követelményének a p<12 és p>1 paraméter-értékek tesznek eleget.