Cím: Megoldási vázlatok az 1990. szeptemberi felvételi gyakorló feladatokhoz
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1990/október, 296. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. Mivel a trapéz érintőnégyszög, ezért a párhuzamos oldalak összege 8 egység, a középvonal hossza 4 egység. Legyen az egyik párhuzamos oldal hossza 4-x, akkor a másik párhuzamos oldal 4+x egység. Jelölje a trapéz magasságát 2m. A feltétel szerint
(8-x)m(8+x)m=511,ahonnanx=3.
A trapéz párhuzamos oldalainak hossza 1, illetve 7 egység.
2. a) Az x>4 feltétellel az egyenlet ekvivalens az (x-2)(x-4)=1 egyenlettel. Az x1=3+2 az egyenlet egyetlen megoldása.
b) Az x>2, x4 feltételekkel az egyenlet ekvivalens az (x-2)2(x-4)2=1 egyenlettel. Az egyenlet megoldásai
x1=3+2ésx3=3.

c) Az x2 és x4 feltételekkel az egyenlet ekvivalens az(x-2)2(x-4)2=1 egyenlettel. Az egyenlet megoldásai x1=3+2, x2=3-2 és x3=3.
3. A keresett kör középpontja rajta van az A ponton átmenő, az adott érintőre merőleges egyenesen, amelynek egyenlete x-y=1, és az x2+y2=1 egyenletű körön. A feltételeknek két kör felel meg, ezek középpontjai: C1(1;0), illetve C2(0;-1).
A keresett körök sugarának négyzete
r12=AC12=8,illetver22=AC22=18.
A körök egyenlete:
(x-1)2+y2=8,illetvex2+(y+1)2=18.

4. Ha az egyenletnek van valós gyöke, akkor az x1, x2 gyökökre
x1+x2=2-mésx1x2=m+5.
Mivel
x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,
ezért
10=(2-m)2-2(m+5),m=-2vagym=8.
Az m=-2 megfelel a feltételnek, m=8 nem, hiszen ekkor az egyenletnek nincs valós megoldása.
5. Legyen a mértani sorozat negyedik eleme a, hányadosa q. A feltételből következik, hogy q0. A feltétel szerint
aqaq=9,ésaq2+aq2=-514.
Az első egyenletből a=3 vagy a=-3. Ha a=3, akkor a második egyenletnek nincs valós megoldása, ha a=-3, akkor q2=4 vagy q2=14 . A feltételeknek négy sorozat felel meg.
a1=-38,q=2vagya1=38,q=-2
Vagy
a1=-24,q=12vagya1=24,q=-12.

6. Legyen a B, illetve C pont vetülete az AD egyenesen B1, illetve C1. Az ABB1 derékszögű háromszögben AB1=3, BB1=3. A trapéz magassága m=BB1=CC1=3. Jelölje x a CC1 előjeles szakasz hosszát. A CC1D derékszögű háromszögből 10=9+x2, ahonnan x=1 vagy x=-1. A feltételnek tehát két trapéz felel meg, így AD=5+3 vagy AD=3+3. A trapézok területe tehát
t1=9+323vagyt2=7+323
területegység.
7. Legyen a kiegészítő gúla magassága n, a csonkagúla magassága 2m, a kimetszett síkidom területe τ. Ismeretes, hogy ha a gúlát az alaplappal párhuzamos síkokkal metszük, akkor a kimetszett síkidomok területének aránya megegyezik a csúcstól mért távolságuk négyzetének arányával.
Ennek alkalmazásával
τt=(n+mn)2ésTt=(n+2mn)2,
azaz
τt=1+mnésTt=1+2mn,
ahonnan
Tt=2τt-1,
azaz
τ=14(t+T)2.

8. Emeljük négyzetre az egyenletek mindkét oldalát, majd adjuk össze az így kapott egyenleteket:
1=2cos2x+23sin2x,
amiből 4cos2x=1, azaz cosx=12 vagy cosx=-12. Az egyenletrendszer megoldásai:

x1=π3+2kπ,y1=π4+2nπ,x2=5π3+2kπ,y2=7π4+2nπ,x3=2π3+2kπ,y3=3π4+2kπ,x4=4π3+2kπ,y4=5π4+2nπ,


ahol kZ és nZ.