A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Mivel a trapéz érintőnégyszög, ezért a párhuzamos oldalak összege 8 egység, a középvonal hossza 4 egység. Legyen az egyik párhuzamos oldal hossza , akkor a másik párhuzamos oldal egység. Jelölje a trapéz magasságát 2. A feltétel szerint | | A trapéz párhuzamos oldalainak hossza 1, illetve 7 egység. 2. a) Az feltétellel az egyenlet ekvivalens az egyenlettel. Az az egyenlet egyetlen megoldása. b) Az , feltételekkel az egyenlet ekvivalens az egyenlettel. Az egyenlet megoldásai c) Az és feltételekkel az egyenlet ekvivalens az egyenlettel. Az egyenlet megoldásai , és . 3. A keresett kör középpontja rajta van az ponton átmenő, az adott érintőre merőleges egyenesen, amelynek egyenlete , és az egyenletű körön. A feltételeknek két kör felel meg, ezek középpontjai: , illetve . A keresett körök sugarának négyzete | | A körök egyenlete: | |
4. Ha az egyenletnek van valós gyöke, akkor az , gyökökre Mivel ezért | | Az megfelel a feltételnek, nem, hiszen ekkor az egyenletnek nincs valós megoldása. 5. Legyen a mértani sorozat negyedik eleme , hányadosa . A feltételből következik, hogy . A feltétel szerint Az első egyenletből vagy . Ha , akkor a második egyenletnek nincs valós megoldása, ha , akkor vagy . A feltételeknek négy sorozat felel meg. Vagy | |
6. Legyen a , illetve pont vetülete az egyenesen , illetve . Az derékszögű háromszögben , . A trapéz magassága . Jelölje a előjeles szakasz hosszát. A derékszögű háromszögből , ahonnan vagy . A feltételnek tehát két trapéz felel meg, így vagy . A trapézok területe tehát területegység. 7. Legyen a kiegészítő gúla magassága , a csonkagúla magassága , a kimetszett síkidom területe . Ismeretes, hogy ha a gúlát az alaplappal párhuzamos síkokkal metszük, akkor a kimetszett síkidomok területének aránya megegyezik a csúcstól mért távolságuk négyzetének arányával. Ennek alkalmazásával azaz ahonnan azaz 8. Emeljük négyzetre az egyenletek mindkét oldalát, majd adjuk össze az így kapott egyenleteket: amiből , azaz vagy . Az egyenletrendszer megoldásai:
ahol és . |