Cím: Az 1990. januári számban kitűzött egyetemi felvételi gyakorló feladatok megoldásai
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1990/február, 64 - 67. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. Oldja meg a következő egyenletrendszert:
sinx=2siny,x+y=2π3.



Megoldás. A második egyenletből y=2π3-x, ezt az első egyenletbe helyettesítve
sinx=2sin(2π3-x),sinx=2(232cosx+12sinx),cosx=0.




Innen x=π2+nπ,y=π6-nπ,nZ.
 


Mivel minden átalakítás ekvivalens volt, ezért ezek valóban megoldások.
 

2. Oldja meg a következő egyenlőtlenségeket:
 

a) x2-5x+4>-1;
b) log12(4x-5,2x+8)<-2.
 

Megoldás. a) Mivel a négyzetgyökös kifejezés csak pozitív vagy nulla értéket vehet fel, ezért a megoldások egybeesnek az x2-5x+40 egyenlőtlenség megoldásaival, tehát x4 vagy x1.
b) Az 12 alapú logaritmus-függvény szigorú monoton csökkenése miatt
4x-5,2x+8>4,
ekkor nyilván 4x-5,2x+4>0, ami x-re nézve másodfokú egyenlőtlenség. Innen 2x>4,x>2 vagy 2x<1,x<0, és ezek az x-ek valóban megoldások.
 

3. Az ABC háromszögben AB=3, AC=2 egység, BAC=75. Az ABC háromszög köré írt köre A-t nem tartalmazó BC ívén vegyük fel az O pontot úgy, hogy BAD=30 legyen. Számítsa ki az AD szakasz hosszát.
 

Megoldás. Készítsen ábrát! Legyen r a háromszög köré írt kör sugara. Mivel BAD=30, ezért DAC=75-30=45, tehát

BD=2rsin30=résCD=2rsin45=r2.


Legyen AD=x. Alkalmazzuk a koszinusztételt az ABD és az ADC háromszögekben.

r2=3+x2-23xcos30,2r2=2+x2-22xcos45,


azaz r2=3+x2-3x, és 2r2=2+x2-2x. Innen x=AD=2 egység (r=1 egység).
 

4. Egy számtani sorozat differenciája 12. Az első n elem összege 38, az első n+4 elemé 69.
Mekkora az n értéke és mennyi a sorozat első eleme?
 

Megoldás. Alkalmazzuk a számtani sorozatokra megismert
Sk=k2(2a1+(k-1)d)
képletet.
38=n2(2a1+(n-1)12),69=n+42(2a1+(n+3)12).
A második egyenletet n-nel, az elsőt -(n+4)-gyel szorozva, majd az egyenleteket összeadva, rendezve az n2-27n+152=0 egyenlethez jutunk. Innen n=8 vagy n=19. Ha n=8, akkor a1=3, ha n=19, akkor a1=-52, és mindkettő valóban megoldás.
 

5. Egy forgáskúpba beírt gömb térfogata harmada a kúp térfogatának. A gömb felszíne hányad része a kúp felszínének?
 

Megoldás. Legyen a forgáskúp alapkörének sugara R, magassága m, a gömb sugara r. A feltétel szerint
343r3π=R2πm3,12r3=R2m.(1)


Készítsük el az alakzat egy szimmetria síkmetszetét! Egyenlő szárú háromszög (alapja 2R, magassága m a beírt körével (a kör sugara r).) Legyen a a kúp alkotójának a hossza. Hasonló háromszögek megfelelő oldalainak arányaként kapjuk, hogy
aR=m-rr,ahonnanr(a+R)=mR.(2)




A gömb felszíne A1=4r2π, a forgáskúp felszíne A2=Rπ(R+a).
A1A2=4r2R(R+a). A (2) és az (1) feltételek alkalmazásával
R(R+a)=mR2r=12r3r=12r2,így
A1A2=4r2122=13, azaz a gömb felszíne szintén harmada a kúp felszínének. (Igaz-e az állítás általánosítása n-ed részre?)
 

6. Az y tengellyel párhuzamos tengelyű parabola átmegy az A(4;-7) ponton és érinti az y=1 egyenletű egyenest. Az A pontban a parabolához húzott érintő egy normálvektora n(8;1). Írja fel a parabola egyenletét!
 

Megoldás. A feltételek szerint a parabola egyenlete
y=a(x-u)2+1
alakban írható. Az A pont rajta van a parabolán, így
-7=a(4-u)2+1,-8=a(4-u)2.(1)
Az A pontban húzott érintő egyenlete 8x+y=25. Az érintő és a parabola által alkotott egyenletrendszer megoldása során kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa nulla.
y=25-8x.a(x-u)2+1=25-8x,ax2-2(au-4)x+au2-24=0,D=4(au-4)2-4a(au2-24)=0.


Ebből
a(u-3)=2.(2)
Az (1) és (2) egyenletből adódik, hogy
-8(u-3)=2(4-u)2,
ahonnan u=2, így a=-2.
A parabola egyenlete: y=-2(x-2)2+1.
(A feladat differenciálszámítással és a parabola tulajdonságainak alkalmazásával kevesebb számítással is megoldható.)
 

7. Oldja meg a
x2+3x+2+p2x2=x+1-px
egyenletet, ahol p valós paraméter!
 

Megoldás. Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát, és vegyük figyelembe, hogy x0.
x2+3x+2+p2x2=x2+2x+1-2(x+1)px+p2x2,(x+1)(1+2px)=0.


Az x1=-1 akkor gyöke az egyenletnek, ha kielégíti azt, azaz ha p2=p, tehát ha p0.
Az x2=-2p akkor gyöke az egyenletnek, ha p0.
4p2-6p+2+14=-2p+32
és
|2p-32|=32-2p,
azaz 32-2p0,p34 . Összefoglalva:
1. Ha p<0, akkor az egyenlet megoldása x2.
2. Ha p=0, akkor a megoldás x1.
3. Ha 0<p34, akkor a megoldások x1,x2.
4. Ha p>34 akkor a megoldás x1.
 

8. Legyen az ABC háromszög kerülete 2s=24 egység. Húzzuk meg a beírt körének az oldalakkal párhuzamos érintőit. Ezen érintőknek a háromszögön belül eső szakaszai közül válasszuk ki a legnagyobbat. Mely ABC háromszög esetén lesz ez az érintőszakasz a lehető legnagyobb?
 

Megoldás. Rajzoljuk meg az ABC háromszöget a beírt körével, és a BC oldallal (jelölje a) párhuzamos érintőszakasszal, ezt jelölje x.
A külső pontból húzott érintő szakaszok egyenlőségéből következik, hogy a beírt érintőszakasz által lemetszett háromszög kerülete 2(12-a) (általában 2(s-a)). A lemetszett és az adott háromszög hasonlóságából
xa=2(12-a)24,x=112a(12-a).


x akkor a legnagyobb, ha a=6, ami az
x=112(36-(a-62))
alakból megállapítható. Ha a=6, akkor x=3.
Ilyen háromszög létezik, hiszen ekkor b+c=18, 6=a.