A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Oldja meg a következő egyenletrendszert:
Megoldás. A második egyenletből , ezt az első egyenletbe helyettesítve
Innen .
Mivel minden átalakítás ekvivalens volt, ezért ezek valóban megoldások. 2. Oldja meg a következő egyenlőtlenségeket: a) ; b) . Megoldás. a) Mivel a négyzetgyökös kifejezés csak pozitív vagy nulla értéket vehet fel, ezért a megoldások egybeesnek az egyenlőtlenség megoldásaival, tehát vagy . b) Az alapú logaritmus-függvény szigorú monoton csökkenése miatt ekkor nyilván , ami -re nézve másodfokú egyenlőtlenség. Innen vagy , és ezek az -ek valóban megoldások. 3. Az háromszögben , egység, . Az háromszög köré írt köre -t nem tartalmazó ívén vegyük fel az pontot úgy, hogy legyen. Számítsa ki az szakasz hosszát. Megoldás. Készítsen ábrát! Legyen a háromszög köré írt kör sugara. Mivel , ezért , tehát
Legyen . Alkalmazzuk a koszinusztételt az és az háromszögekben.
azaz , és . Innen egység ( egység). 4. Egy számtani sorozat differenciája . Az első elem összege , az első elemé . Mekkora az értéke és mennyi a sorozat első eleme? Megoldás. Alkalmazzuk a számtani sorozatokra megismert képletet. | | A második egyenletet -nel, az elsőt -gyel szorozva, majd az egyenleteket összeadva, rendezve az egyenlethez jutunk. Innen vagy . Ha , akkor , ha , akkor , és mindkettő valóban megoldás. 5. Egy forgáskúpba beírt gömb térfogata harmada a kúp térfogatának. A gömb felszíne hányad része a kúp felszínének? Megoldás. Legyen a forgáskúp alapkörének sugara , magassága , a gömb sugara . A feltétel szerint
Készítsük el az alakzat egy szimmetria síkmetszetét! Egyenlő szárú háromszög (alapja , magassága a beírt körével (a kör sugara ).) Legyen a kúp alkotójának a hossza. Hasonló háromszögek megfelelő oldalainak arányaként kapjuk, hogy
A gömb felszíne , a forgáskúp felszíne . . A (2) és az (1) feltételek alkalmazásával | | , azaz a gömb felszíne szintén harmada a kúp felszínének. (Igaz-e az állítás általánosítása -ed részre?) 6. Az tengellyel párhuzamos tengelyű parabola átmegy az ponton és érinti az egyenletű egyenest. Az pontban a parabolához húzott érintő egy normálvektora . Írja fel a parabola egyenletét! Megoldás. A feltételek szerint a parabola egyenlete alakban írható. Az pont rajta van a parabolán, így | | (1) | Az pontban húzott érintő egyenlete . Az érintő és a parabola által alkotott egyenletrendszer megoldása során kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa nulla.
Ebből Az (1) és (2) egyenletből adódik, hogy ahonnan , így . A parabola egyenlete: . (A feladat differenciálszámítással és a parabola tulajdonságainak alkalmazásával kevesebb számítással is megoldható.) 7. Oldja meg a egyenletet, ahol valós paraméter! Megoldás. Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát, és vegyük figyelembe, hogy .
Az akkor gyöke az egyenletnek, ha kielégíti azt, azaz ha , tehát ha . Az akkor gyöke az egyenletnek, ha . és azaz . Összefoglalva: 1. Ha , akkor az egyenlet megoldása . 2. Ha , akkor a megoldás . 3. Ha , akkor a megoldások . 4. Ha akkor a megoldás . 8. Legyen az háromszög kerülete egység. Húzzuk meg a beírt körének az oldalakkal párhuzamos érintőit. Ezen érintőknek a háromszögön belül eső szakaszai közül válasszuk ki a legnagyobbat. Mely háromszög esetén lesz ez az érintőszakasz a lehető legnagyobb? Megoldás. Rajzoljuk meg az háromszöget a beírt körével, és a oldallal (jelölje ) párhuzamos érintőszakasszal, ezt jelölje . A külső pontból húzott érintő szakaszok egyenlőségéből következik, hogy a beírt érintőszakasz által lemetszett háromszög kerülete (általában ). A lemetszett és az adott háromszög hasonlóságából
akkor a legnagyobb, ha , ami az alakból megállapítható. Ha , akkor . Ilyen háromszög létezik, hiszen ekkor , . |