Cím: Az 1988-89. évi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet: 1989/november, 354 - 357. oldal  PDF file
Témakör(ök): OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első forduló
 

I. és II. kategória
 

1. Oldjuk meg a valós számok halmazán a
2x-2+x+2=4x2-44
egyenletet.
 
2. Húzzunk érintőket a k körhöz a rajta kívül levő A pontból. Az érintési pontok legyenek B és C. Húzzunk merőlegeseket a k kör tetszőleges pontjából a BC, CA és AB egyenesekre. A merőlegesek talppontjai rendre A1,B1, és C1, ahol A1BC,B1CA és C1AB.
Bizonyítsuk be, hogy PA1 mértani közepe PB1-nek és PC1-nek.
 
3. Egy 8×8-as sakktábla mezőire írjuk be sorban 1-től kezdve a természetes számokat a bal felső sarokból indulva jobbra, majd folytatva a második sorban ugyancsak balról jobbra és így tovább.
Helyezzünk a sakktábla mezőire olyan összefüggő, három kis négyzetből álló alakzatokat, amelyekben nem mind a három négyzet esik egy sorba vagy egy oszlopba. Hány olyan ráhelyezés létezik, amelyben a lefedett mezőkben lévő számok összege osztható 3-mal?
 
4. Az x valós szám mely értékére van minimuma az
f(x)=2x2-6x+9+2x2+6x+9
függvénynek?
 
5. Egy fából készült téglatest alapéleinek aránya 3:4, valamennyi élének hossza együttvéve 176 cm. Szétfűrészeljük a testet három szimmetriasíkja mentén, valamint a szemben lévő oldalélpárokkal meghatározott síkok mentén. Az így létrejövő testek összes felszíne háromszor akkora, mint az eredeti test felszíne.
Mekkorák a test élei?
 
6. Van-e olyan szabályos sokszög, amelyben a leghosszabb és a legrövidebb átló mérőszámának a különbsége egyenlő az oldal mérőszámával?
 
III‐IV. Kategória
 

1. Egy település lakóinak száma négyzetszám volt. 1000 fővel növekedett a lakosok száma, ekkor egy négyzetszámnál 1-gyel több lett. Újabb 1000 fővel növekedve ismét négyzetszám lett.
Mennyi volt eredetileg a lakosok száma?
 
2. Az A1,A2,...,A12 egységnyi területű szabályos tizenkétszög O középpontját tükrözzük az A1A2, A5A6 és A9A10 egyenesekre. Számítsuk ki az így kapott pontok által meghatározott háromszög területét.
 
3. A PQR háromszög oldalainak hossza p, q, r. A háromszögről tudjuk, hogy ha n tetszőleges pozitív egész szám, akkor van olyan háromszög, amelynek oldalai pn, qn, rn. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög egyenlő szárú.
 
4. Határozzuk meg
sinx1sinx2...sinxn
maximális értékét, ha x1,x2,...,xn olyan valós számok, amelyekre teljesül, hogy
tg   x1tg  x2...tg   xn=1.  

5. Az ABC háromszög köré írt körének középpontja O, a kör csúcsot nem tartalmazó AB, BC, CA ívének felezőpontja rendre C1, A1, B1.
Bizonyítsuk be, hogy ha
OK=OA1+OB1+OC1,
akkor K az ABC háromszögbe írt kör középpontja.
 

A második (döntő) forduló feladatai
 

I. kategória
 

(Szakközépiskolák tanulói részére)
 

1. Az x, y és z valós számokra teljesülnek a következő összefüggések:
x+y=z-1xy=z2-7x+14.


Mely z érték esetén lesz az x2+y2 összeg értéke maximális?
2. Oldjuk meg a
|sinx-sinxx|+2cos2(π4-x2)+sinxx=3
egyenletet, ahol x0 és x(0;π2].
 
3. Az ABC hegyesszögű egyenlő szárú háromszög BC alapjának C végpontja körül 12BC sugárral kört rajzolunk, amely az AC oldalt D pontban metszi. Kössük össze a háromszög köré írható kör C-t nem tartalmazó AB ívének tetszőleges belső P pontját C-vel, majd húzzunk párhuzamost a D ponton át PC-vel. Ez az egyenes a PA egyenest a Q  pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy PQ=12(PC-PB).
Hogyan változik a feladat állítása, ha P a körvonal tetszőleges pontja?
 

II. kategória
 

(Alaptantervű gimnáziumi osztályok tanulói részére)
 

1. Bizonyítsuk be, hogy bármely tíz, egymást követő pozitív egész szám közül legalább egy relatív prím a többi mindegyikéhez.
 
2. Az ABC háromszögben AB=AC. A háromszög beírt körének középpontja legyen O. A BAC szög szárait és az ABC háromszög köré írt kört belülről érintő kör az AB oldalt a P pontban, az AC oldalt a Q pontban érinti. Bizonyítsuk be, hogy az O  középpont rajta van a PQ szakaszon.
3. Bizonyítsuk be, hogy ha n tetszés szerinti, 3-nál nem kisebb természetes számot jelöl, akkor
133+143+...+1n3<112.
 

III. Kategória
 

(Fakultatív matematikai osztályok tanulói részére)
 

1. Igazoljuk, hogy ha a,b,c>0 valós számok, akkor
a2+b2-ab+b2+c2-bca2+c2+ac.

2. Jelölje Π(n) az n pozitív egész pozitív osztóinak szorzatát
(pl.: (Π(3)=3,Π(4)=8). Igazolja, hogy ha Π(m)=Πn, akkor m=n.
 
3. Az ABC háromszögben ACB=γ>ABC=β>BAC=α. Bizonyítsa be, hogy az ABC háromszög beírható körének I középpontja a BOM háromszög belsejében van (O az ABC háromszög köré írt kör középpontja, M pedig a magasságpont).
 

IV. kategória
 

(A gimnáziumok speciális matematikai osztályai)
 

1. Hány oldalú (konvex) szabályos sokszögekre igaz, hogy az oldalhosszuk AiAi+1 az AiAi+2 és AiAi+3 átlóhosszak harmonikus közepének a fele, ahol a sokszög csúcsai rendre A1,A2,A3,... ?
 
2. Bizonyítsuk be, hogy 13 különböző valós szám között mindig van két olyan (jelölje ezeket c és d), amelyekre
0<c-d1+cd<2-3.

3. Határozza meg az
x2-2y4=1
egyenlet összes egész megoldásait.