Cím:	Az 1988-89. évi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny feladatai
Füzet:	1989/november, 354 - 357. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	OKTV

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Első forduló   I. és II. kategória   1. Oldjuk meg a valós számok halmazán a $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\sqrt[]{x-2}+\sqrt[]{x+2}=4\sqrt[4]{x^2-4}}\end{array}$ egyenletet.   2. Húzzunk érintőket a $k$ körhöz a rajta kívül levő $A$ pontból. Az érintési pontok legyenek $B$ és $C$. Húzzunk merőlegeseket a $k$ kör tetszőleges pontjából a $BC$, $CA$ és $AB$ egyenesekre. A merőlegesek talppontjai rendre $A_1\mathrm{,}{B}_1$, és $C_1$, ahol $A_1\in BC\mathrm{,}{B}_1\in CA$ és $C_1\in AB$. Bizonyítsuk be, hogy $P{A}_1$ mértani közepe $P{B}_1$-nek és $P{C}_1$-nek.   3. Egy $8\times 8$-as sakktábla mezőire írjuk be sorban $1$-től kezdve a természetes számokat a bal felső sarokból indulva jobbra, majd folytatva a második sorban ugyancsak balról jobbra és így tovább. Helyezzünk a sakktábla mezőire olyan összefüggő, három kis négyzetből álló alakzatokat, amelyekben nem mind a három négyzet esik egy sorba vagy egy oszlopba. Hány olyan ráhelyezés létezik, amelyben a lefedett mezőkben lévő számok összege osztható $3$-mal?   4. Az $x$ valós szám mely értékére van minimuma az $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\sqrt[]{2x^2-6x+9}+\sqrt[]{2x^2+6x+9}}\end{array}$ függvénynek?   5. Egy fából készült téglatest alapéleinek aránya $3:4$, valamennyi élének hossza együttvéve 176 cm. Szétfűrészeljük a testet három szimmetriasíkja mentén, valamint a szemben lévő oldalélpárokkal meghatározott síkok mentén. Az így létrejövő testek összes felszíne háromszor akkora, mint az eredeti test felszíne. Mekkorák a test élei?   6. Van-e olyan szabályos sokszög, amelyben a leghosszabb és a legrövidebb átló mérőszámának a különbsége egyenlő az oldal mérőszámával?   III‐IV. Kategória   1. Egy település lakóinak száma négyzetszám volt. $1000$ fővel növekedett a lakosok száma, ekkor egy négyzetszámnál 1-gyel több lett. Újabb $1000$ fővel növekedve ismét négyzetszám lett. Mennyi volt eredetileg a lakosok száma?   2. Az $A_1\mathrm{,}{A}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{A}_{12}$ egységnyi területű szabályos tizenkétszög $O$ középpontját tükrözzük az $A_1{A}_2$, $A_5{A}_6$ és $A_9{A}_{10}$ egyenesekre. Számítsuk ki az így kapott pontok által meghatározott háromszög területét.   3. A $PQR$ háromszög oldalainak hossza $p$, $q$, $r$. A háromszögről tudjuk, hogy ha $n$ tetszőleges pozitív egész szám, akkor van olyan háromszög, amelynek oldalai $p^n$, $q^n$, $r^n$. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög egyenlő szárú.   4. Határozzuk meg $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}{x}_1\cdot \text{sin}{x}_2\cdot \text{...}\cdot \text{sin}{x}_n}\end{array}$ maximális értékét, ha $x_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_n$ olyan valós számok, amelyekre teljesül, hogy 5. Az $ABC$ háromszög köré írt körének középpontja $O$, a kör csúcsot nem tartalmazó $AB$, $BC$, $CA$ ívének felezőpontja rendre $C_1$, $A_1$, $B_1$. Bizonyítsuk be, hogy ha $\begin{array}{c}{\displaystyle \overrightarrow{OK}=\overrightarrow{O{A}_1}+\overrightarrow{O{B}_1}+\overrightarrow{O{C}_1}\mathrm{,}}\end{array}$ akkor $K$ az $ABC$ háromszögbe írt kör középpontja.   A második (döntő) forduló feladatai   I. kategória   (Szakközépiskolák tanulói részére)   1. Az $x$, $y$ és $z$ valós számokra teljesülnek a következő összefüggések: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle x+y=z-1}\hfill \\ \hfill {\displaystyle xy=z^2-7x+14.}\hfill \end{array}}$ Mely $z$ érték esetén lesz az $x^2+y^2$ összeg értéke maximális? 2. Oldjuk meg a $\begin{array}{c}{\displaystyle |\text{sin}x-\frac{\text{sin}x}{x}|+2\cdot \text{cos}{}^2(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2})+\frac{\text{sin}x}{x}=3}\end{array}$ egyenletet, ahol $x\ne 0$ és $x\in (0;\frac{\pi }{2}]\mathrm{.}$   3. Az $ABC$ hegyesszögű egyenlő szárú háromszög $BC$ alapjának $C$ végpontja körül $\frac{1}{2}BC$ sugárral kört rajzolunk, amely az $AC$ oldalt $D$ pontban metszi. Kössük össze a háromszög köré írható kör $C$-t nem tartalmazó $AB$ ívének tetszőleges belső $P$ pontját $C$-vel, majd húzzunk párhuzamost a $D$ ponton át $PC$-vel. Ez az egyenes a $PA$ egyenest a $Q$  pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy $PQ=\frac{1}{2}\left(PC-PB\right)$. Hogyan változik a feladat állítása, ha $P$ a körvonal tetszőleges pontja?   II. kategória   (Alaptantervű gimnáziumi osztályok tanulói részére)   1. Bizonyítsuk be, hogy bármely tíz, egymást követő pozitív egész szám közül legalább egy relatív prím a többi mindegyikéhez.   2. Az $ABC$ háromszögben $AB=AC$. A háromszög beírt körének középpontja legyen $O$. A $BAC$ szög szárait és az $ABC$ háromszög köré írt kört belülről érintő kör az $AB$ oldalt a $P$ pontban, az $AC$ oldalt a $Q$ pontban érinti. Bizonyítsuk be, hogy az $O$  középpont rajta van a $PQ$ szakaszon. 3. Bizonyítsuk be, hogy ha $n$ tetszés szerinti, $3$-nál nem kisebb természetes számot jelöl, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\text{...}+\frac{1}{n^3}<\frac{1}{12}\mathrm{.}}\end{array}$   III. Kategória   (Fakultatív matematikai osztályok tanulói részére)   1. Igazoljuk, hogy ha $a\mathrm{,}b\mathrm{,}c>0$ valós számok, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[]{a^2+b^2-ab}+\sqrt[]{b^2+c^2-bc}\geqq \sqrt[]{a^2+c^2+ac}\mathrm{.}}\end{array}$ 2. Jelölje $\Pi \left(n\right)$ az $n$ pozitív egész pozitív osztóinak szorzatát (pl.: $\left(\Pi \left(3\right)=\mathrm{3,}\Pi \left(4\right)=8\right)$. Igazolja, hogy ha $\Pi \left(m\right)=\Pi n$, akkor $m=n$.   3. Az $ABC$ háromszögben $ACB\sphericalangle =\gamma >ABC\sphericalangle =\beta >BAC\sphericalangle =\alpha$. Bizonyítsa be, hogy az $ABC$ háromszög beírható körének $I$ középpontja a $BOM$ háromszög belsejében van ($O$ az $ABC$ háromszög köré írt kör középpontja, $M$ pedig a magasságpont).   IV. kategória   (A gimnáziumok speciális matematikai osztályai)   1. Hány oldalú (konvex) szabályos sokszögekre igaz, hogy az oldalhosszuk $A_i{A}_{i+1}$ az $A_i{A}_{i+2}$ és $A_i{A}_{i+3}$ átlóhosszak harmonikus közepének a fele, ahol a sokszög csúcsai rendre $A_1\mathrm{,}{A}_2\mathrm{,}{A}_3\mathrm{,}\text{...}$ ?   2. Bizonyítsuk be, hogy $13$ különböző valós szám között mindig van két olyan (jelölje ezeket $c$ és $d$), amelyekre $\begin{array}{c}{\displaystyle 0<\frac{c-d}{1+cd}<2-\sqrt[]{3}\mathrm{.}}\end{array}$ 3. Határozza meg az $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-2y^4=1}\end{array}$ egyenlet összes egész megoldásait.