Cím: Az 1989. novemberben közölt felvételire gyakorló feladatok megoldásai
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1989/december, 440 - 444. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. Oldjuk meg az
x2+3xy=-2,2xy-y2=-5


egyenletrendszert.
 

Megoldás. Az első egyenletet 5-tel, a másodikat (-2)-vel szorozva, majd az egyenleteket összeadva az
5x2+11xy+2y2=0
egyenletet kapjuk (kiküszöböltük a konstansokat).
Innen x=-2y vagy x=-15y.
Ha x=-2y, akkor az első (vagy a második) egyenletbe helyettesítve
y2=1;y1=1,y2=-1.
Ha y1=1, akkor x1=-2, ha y2=-1, akkor x2=2.
Ha x=-15y, akkor y2=257; y3=57, y4=-57.
Ha y3=57, akkor x3=-17,
ha y4=-57, akkor x4=17.
 


Mind a négy számpár valóban megoldás.
 

2. Az x2+px+q=0 egyenlet egyik gyöke 3, a másik gyöke megegyezik az egyenlet diszkriminánsának kétszeresével.
Számítsa ki p és q értékét.
 

Megoldás. Jelölje D az egyenlet diszkriminánsát. Az egyenlet
x2-(3+2D)x+6D=0
alakban írható. Mivel
D=(3+2D)2-24D,
ezért 4D2-13D+9=0,
és így D=1 vagy D=94.
Ha D=1, akkor p=-5, q=6.
Ekkor x1=2, x2=3, így ez valóban megoldás.
Ha D=94, akkor p=-152, q=272.
Ekkor x1=92, x2=3, így ez is valóban megoldás.
 

3. Oldja meg az
lg (4-x)+2lg 3=lg 108-12lg x2
egyenletet.
 

Megoldás. Az egyenlet (x<4, x0)
lgx2+lg(4-x)=lg108-lg9alakba írható.
Innen
lg|x|(4-x)=lg12.|x|(4-x)=12.


Ha x>0, akkor x2-4x+12=0;
ennek az egyenletnek nincs valós megoldása.
Ha x<0, akkor x2-4x-12=0, x1=-2, x2=6.
Ez utóbbi nem lehet megoldás, az x1=-2 valóban megoldás, hiszen kielégíti az egyenletet.
 

4. Az ABC háromszög köré írt kör sugara 5 egység, az AB oldalé 8 egység, a másik két oldal aránya 2:5. Számítsa ki a háromszög másik két oldalát.
 

Megoldás. Jelölje γ az AB oldallal szemközti szöget. Ekkor 8=10sinγ, azaz sinγ=45, cosγ=35, vagy cosγ=-35.
Legyen a másik két oldal 2x, illetve 5x.
Ha cosγ=35, akkor a koszinusztétel alkalmazásával
82=(2x)2+(5x)2-22x5x35,x2=6417,x=6417(=1,94),így


a másik két oldal hossza
26417=(3,88),illetve56417(=9,70)
egység, és ilyen háromszög valóban létezik, hiszen 3,88+8>9,70.
Ha cosγ=-35, akkor

82=4x2+25x2+12x2,x2=6441,x=6441(=1,25),


így a másik két oldal 2,50, illetve 6,25 egység lehet. Mivel 2,50+6,25>8, ezért ilyen háromszög is létezik.
 

5. Írja fel annak a körnek az egyenletét, amely az y tengelyt az origóban érinti, és érinti az y=x+2 egyenletű egyenest is.
 

Megoldás. Ha egy kör az y tengelyt az origóban érinti, akkor a középpontja az x tengelyre illeszkedik, így a középpont ordinátája v=0, a sugara pedig a középpont abszcisszájának abszolút értéke, tehát r=|u|, azaz r2=u2. A keresett kör egyenlete tehát
(x-u)2+y2=u2
alakban írható. Egy ilyen egyenletű kör akkor és csakis akkor érinti az y=x+2 egyenletű egyenest, ha az egyenletek által alkotott egyenletrendszer megoldása során (x-re, vagy y-ra) kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa nulla.

(x-u)2+(x+2)2=u2,x2-(u-2)x+2=0D=(u-2)2-8.D=0,hau=2+224,83,vagyu=2-22-0,83.




A feltételeknek megfelelő körök egyenlete:

(x-(2+22))2+y2=(2+22)2,illetve(x-(2-22))2+y2=(2-22)2.



6. Mely helyeken veszi fel az
f(x)=sin22x+2cos2x-54
függvény a legnagyobb és a legkisebb értékét a [0;π] intervallumban? Mekkora ez a legnagyobb és legkisebb érték?
 

Megoldás. Mivel sin22x=1-cos22x és 2cos2x=1+cos2x; ezért azonos átalakításokkal
f(x)=1-(cos2x-12)2.
Tudjuk, hogy -1cos2x1, ezért
-32cos2x-1212,0(cos2x-12)294,így-54f(x)1.



Az f(x) a legnagyobb értékét, 1-et akkor veszi fel, ha
2x=π3+2kπvagy2x=5π3+2kπ,kZ,
azaz, x=π6+kπ, vagy x=5π6+kπ,kZ helyeken veszi fel, és ezek közül az x1=π6 és x2=5π6 esik a [0;π] intervallumba.
Az f(x) a legkisebb értékét, -54-et akkor veszi fel, ha
cos2x-12=-32,cos2x=-1,2x=π+2kπ,x=π2+kπ,kZ.


Ezek közül csak az x3=π2 esik a [0;π] intervallumba.
 

7. A p valós szám értékétől fűggően hány megoldása van a
2|log2x|-(log2x)2=p
egyenletnek?
 

Megoldás. Ha p<0, akkor az egyenletnek nincs megoldása. Vegyük figyelembe, hogy a2|a|2.
Ha p=0, akkor
|log2x|(2-|log2x|)=0.

Ha |log2x|=0, akkor x1=1, ha pedig
|log2x|=2,akkorlog2x=2vagylog2x=-2,
azaz x2=4, x3=14.
p=0 esetén az egyenletnek tehát három megoldása van.
Ha p>0, akkor
|log2x|2-2|log2x|+p2=0.
Ennek diszkriminánsa D=4(1-p2).
Ha D<0, azaz p>1, akkor az egyenletnek nincs megoldása. Ha D=0, azaz, ha p=1, akkor
|log2x|=1,log2x=1vagylog2x=-1,
x4=2, x5=12, azaz p=1 esetén az egyenletnek két megoldása van.
Ha D>0, azaz ha 0<p<1 akkor
|log2x|=1±1-p2.
Mivel y1=1+1-p2>0 és y2=1-1-p2>0, ezért ez esetben az egyenletnek négy megoldása van. (x6=2y1, x7=2-y1, x8=2y2, x9=2-y2.)
 

Összefoglalva : Ha p<0 vagy p>1, akkor nincs megoldása az egyenletnek. Ha p=0, akkor a megoldások száma három (x1,x2,x3), ha p=1, akkor a megoldások száma kettő (x4,x5), s ha 0<p<1, akkor a megoldások száma négy (x6,x7,x8,x9).
 

8. Egy háromszög a, b és c oldala között a következő összefüggés áll fenn:
1a+b+1b-c=3a+b-c.
Mekkora a b oldallal szemközti szög?
 

Megoldás. Végezzünk ekvivalens átalakításokat.(b-c0).
a(b-c)+(b-c)2+(a+b)2-c(a+b)=3(a+b)(b-c).
Beszorzás és rendezés után
a2+c2+ac=b2.
A koszinus tétel szerint
a2+c2-2accosβ=b2.
Ez utóbbi két egyenletből
ac(1+2cosβ)=0,cosβ=-12,



a b oldallal szemközti szög tehát 120.