Kezdőlap


Cím:	Az 1989. novemberben közölt felvételire gyakorló feladatok megoldásai
Szerző(k):	Rábai Imre
Füzet:	1989/december, 440 - 444. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Oldjuk meg az

\begin{matrix} x^{2} + 3 x y = - 2, \\ 2 x y - y^{2} = - 5 \end{matrix}

egyenletrendszert.

Megoldás. Az első egyenletet 5-tel, a másodikat (

- 2

)-vel szorozva, majd az egyenleteket összeadva az

\begin{matrix} 5 x^{2} + 11 x y + 2 y^{2} = 0 \end{matrix}

egyenletet kapjuk (kiküszöböltük a konstansokat).
Innen

x = - 2 y vagy x = - \frac{1}{5} y

.
Ha

x = - 2 y

, akkor az első (vagy a második) egyenletbe helyettesítve

\begin{matrix} y^{2} = 1; y_{1} = 1, y_{2} = - 1. \end{matrix}

y_{1} = 1

, akkor

x_{1} = - 2

, ha

y_{2} = - 1

, akkor

x_{2} = 2

.
Ha

x = - \frac{1}{5} y

, akkor

y^{2} = \frac{25}{7}

;

y_{3} = \frac{5}{\sqrt[]{7}}

y_{4} = - \frac{5}{\sqrt[]{7}}

.
Ha

y_{3} = \frac{5}{\sqrt[]{7}}

, akkor

x_{3} = - \frac{1}{\sqrt[]{7}}

,
ha

y_{4} = - \frac{5}{\sqrt[]{7}}

, akkor

x_{4} = \frac{1}{\sqrt[]{7}}

Mind a négy számpár valóban megoldás.

2. Az

x^{2} + p x + q = 0

egyenlet egyik gyöke

3

, a másik gyöke megegyezik az egyenlet diszkriminánsának kétszeresével.
Számítsa ki

p

és

q

értékét.

Megoldás. Jelölje

D

az egyenlet diszkriminánsát. Az egyenlet

\begin{matrix} x^{2} - (3 + 2 D) x + 6 D = 0 \end{matrix}

alakban írható. Mivel

\begin{matrix} D = {(3 + 2 D)}^{2} - 24 D, \end{matrix}

ezért

4 D^{2} - 13 D + 9 = 0

,
és így

D = 1

vagy

D = \frac{9}{4}

.
Ha

D = 1

, akkor

p = - 5

q = 6

.
Ekkor

x_{1} = 2

x_{2} = 3

, így ez valóban megoldás.
Ha

D = \frac{9}{4}

, akkor

p = - \frac{15}{2}

q = \frac{27}{2}

.
Ekkor

x_{1} = \frac{9}{2}

x_{2} = 3

, így ez is valóban megoldás.

3. Oldja meg az

\begin{matrix} lg (4 - x) + 2 lg 3 = lg 108 - \frac{1}{2} lg x^{2} \end{matrix}

egyenletet.

Megoldás. Az egyenlet (

x < 4

x \neq 0

)

\begin{matrix} lg \sqrt[]{x^{2}} + lg (4 - x) = lg 108 - lg 9 alakba írható. \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} lg | x | (4 - x) = lg 12. \\ | x | (4 - x) = 12. \end{matrix}

x > 0

, akkor

x^{2} - 4 x + 12 = 0

;
ennek az egyenletnek nincs valós megoldása.
Ha

x < 0

, akkor

x^{2} - 4 x - 12 = 0

x_{1} = - 2

x_{2} = 6

.
Ez utóbbi nem lehet megoldás, az

x_{1} = - 2

valóban megoldás, hiszen kielégíti az egyenletet.

4. Az

A B C

háromszög köré írt kör sugara

5

egység, az

A B

oldalé

8

egység, a másik két oldal aránya

2 : 5

. Számítsa ki a háromszög másik két oldalát.

Megoldás. Jelölje

γ

A B

oldallal szemközti szöget. Ekkor

8 = 10 sin γ

, azaz

sin γ = \frac{4}{5}

cos γ = \frac{3}{5}

, vagy

cos γ = - \frac{3}{5}

.
Legyen a másik két oldal

2 x

, illetve

5 x

.
Ha

cos γ = \frac{3}{5}

, akkor a koszinusztétel alkalmazásával

\begin{matrix} 8^{2} = {(2 x)}^{2} + {(5 x)}^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot 5 x \cdot \frac{3}{5}, \\ x^{2} = \frac{64}{17}, x = \sqrt[]{\frac{64}{17}} (= 1, 94), így \end{matrix}

a másik két oldal hossza

\begin{matrix} 2 \sqrt[]{\frac{64}{17}} = (3, 88), illetve 5 \sqrt[]{\frac{64}{17}} (= 9, 70) \end{matrix}

egység, és ilyen háromszög valóban létezik, hiszen

3, 88 + 8 > 9, 70

.
Ha

cos γ = - \frac{3}{5}

, akkor

\begin{matrix} 8^{2} = 4 x^{2} + 25 x^{2} + 12 x^{2}, \\ x^{2} = \frac{64}{41}, x = \sqrt[]{\frac{64}{41}} (= 1, 25), \end{matrix}

így a másik két oldal

2, 50

, illetve

6, 25

egység lehet. Mivel

2, 50 + 6, 25 > 8

, ezért ilyen háromszög is létezik.

5. Írja fel annak a körnek az egyenletét, amely az

y

tengelyt az origóban érinti, és érinti az

y = x + 2

egyenletű egyenest is.

Megoldás. Ha egy kör az

y

tengelyt az origóban érinti, akkor a középpontja az

x

tengelyre illeszkedik, így a középpont ordinátája

v = 0

, a sugara pedig a középpont abszcisszájának abszolút értéke, tehát

r = | u |

, azaz

r^{2} = u^{2}

. A keresett kör egyenlete tehát

\begin{matrix} {(x - u)}^{2} + y^{2} = u^{2} \end{matrix}

alakban írható. Egy ilyen egyenletű kör akkor és csakis akkor érinti az

y = x + 2

egyenletű egyenest, ha az egyenletek által alkotott egyenletrendszer megoldása során (

x

-re, vagy

y

-ra) kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa nulla.

\begin{matrix} {(x - u)}^{2} + {(x + 2)}^{2} = u^{2}, \\ x^{2} - (u - 2) x + 2 = 0 \\ D = {(u - 2)}^{2} - 8. \\ D = 0, ha u = 2 + 2 \sqrt[]{2} \approx 4, 83, vagy u = 2 - 2 \sqrt[]{2} \approx - 0, 83. \end{matrix}

A feltételeknek megfelelő körök egyenlete:

\begin{matrix} {(x - (2 + 2 \sqrt[]{2}))}^{2} + y^{2} = {(2 + 2 \sqrt[]{2})}^{2}, illetve \\ {(x - (2 - 2 \sqrt[]{2}))}^{2} + y^{2} = {(2 - 2 \sqrt[]{2})}^{2} . \end{matrix}

6. Mely helyeken veszi fel az

\begin{matrix} f (x) = sin^{2} 2 x + 2 cos^{2} x - \frac{5}{4} \end{matrix}

függvény a legnagyobb és a legkisebb értékét a

[0; π]

intervallumban? Mekkora ez a legnagyobb és legkisebb érték?

Megoldás. Mivel

sin^{2} 2 x = 1 - cos^{2} 2 x

és

2 cos^{2} x = 1 + cos 2 x

; ezért azonos átalakításokkal

\begin{matrix} f (x) = 1 - {(cos 2 x - \frac{1}{2})}^{2} . \end{matrix}

Tudjuk, hogy

- 1 ≦ cos 2 x ≦ 1

, ezért

\begin{matrix} - \frac{3}{2} ≦ cos 2 x - \frac{1}{2} ≦ \frac{1}{2}, \\ 0 ≦ {(cos 2 x - \frac{1}{2})}^{2} ≦ \frac{9}{4}, így \\ - \frac{5}{4} ≦ f (x) ≦ 1. \end{matrix}

f (x)

a legnagyobb értékét, 1-et akkor veszi fel, ha

\begin{matrix} 2 x = \frac{π}{3} + 2 k π vagy 2 x = \frac{5 π}{3} + 2 k π, k \in Z, \end{matrix}

azaz,

x = \frac{π}{6} + k π

, vagy

x = \frac{5 π}{6} + k π, k \in Z

helyeken veszi fel, és ezek közül az

x_{1} = \frac{π}{6}

és

x_{2} = \frac{5 π}{6}

esik a [

0; π

] intervallumba.
Az

f (x)

a legkisebb értékét,

- \frac{5}{4}

-et akkor veszi fel, ha

\begin{matrix} cos 2 x - \frac{1}{2} = - \frac{3}{2}, \\ cos 2 x = - 1, \\ 2 x = π + 2 k π, x = \frac{π}{2} + k π, k \in Z . \end{matrix}

Ezek közül csak az

x_{3} = \frac{π}{2}

esik a [

0; π

] intervallumba.

7. A

p

valós szám értékétől fűggően hány megoldása van a

\begin{matrix} \sqrt[]{2 | log_{2} x | - {(log_{2} x)}^{2}} = p \end{matrix}

egyenletnek?

Megoldás. Ha

p < 0

, akkor az egyenletnek nincs megoldása. Vegyük figyelembe, hogy

a^{2} = | a |^{2}

.
Ha

p = 0

, akkor

\begin{matrix} | log_{2} x | (2 - | log_{2} x |) = 0. \end{matrix}

| log_{2} x | = 0

, akkor

x_{1} = 1

, ha pedig

\begin{matrix} | log_{2} x | = 2, akkor log_{2} x = 2 vagy log_{2} x = - 2, \end{matrix}

azaz

x_{2} = 4

x_{3} = \frac{1}{4}

p = 0

esetén az egyenletnek tehát három megoldása van.
Ha

p > 0

, akkor

\begin{matrix} | log_{2} x |^{2} - 2 | log_{2} x | + p^{2} = 0. \end{matrix}

Ennek diszkriminánsa

D = 4 (1 - p^{2})

.
Ha

D < 0

, azaz

p > 1

, akkor az egyenletnek nincs megoldása. Ha

D = 0

, azaz, ha

p = 1

, akkor

\begin{matrix} | log_{2} x | = 1, log_{2} x = 1 vagy log_{2} x = - 1, \end{matrix}

x_{4} = 2

x_{5} = \frac{1}{2}

, azaz

p = 1

esetén az egyenletnek két megoldása van.
Ha

D > 0

, azaz ha

0 < p < 1

akkor

\begin{matrix} | log_{2} x | = 1 \pm \sqrt[]{1 - p^{2} .} \end{matrix}

Mivel

y_{1} = 1 + \sqrt[]{1 - p^{2}} > 0

és

y_{2} = 1 - \sqrt[]{1 - p^{2}} > 0

, ezért ez esetben az egyenletnek négy megoldása van.

(x_{6} = 2^{y_{1}}

x_{7} = 2^{- y_{1}}

x_{8} = 2^{y_{2}}

x_{9} = 2^{- y_{2}} .)

Összefoglalva : Ha

p < 0

vagy

p > 1,

akkor nincs megoldása az egyenletnek. Ha

p = 0,

akkor a megoldások száma három (

x_{1}, x_{2}, x_{3}

), ha

p = 1

, akkor a megoldások száma kettő (

x_{4}, x_{5}

), s ha

0 < p < 1

, akkor a megoldások száma négy (

x_{6}, x_{7}, x_{8}, x_{9}

8. Egy háromszög

a

b

és

c

oldala között a következő összefüggés áll fenn:

\begin{matrix} \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b - c} = \frac{3}{a + b - c} . \end{matrix}

Mekkora a

b

oldallal szemközti szög?

Megoldás. Végezzünk ekvivalens átalakításokat.(

b - c \neq 0

\begin{matrix} a (b - c) + {(b - c)}^{2} + {(a + b)}^{2} - c (a + b) = 3 (a + b) (b - c) . \end{matrix}

Beszorzás és rendezés után

\begin{matrix} a^{2} + c^{2} + a c = b^{2} . \end{matrix}

A koszinus tétel szerint

\begin{matrix} a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β = b^{2} . \end{matrix}

Ez utóbbi két egyenletből

\begin{matrix} a c (1 + 2 cos β) = 0, \\ cos β = - \frac{1}{2}, \end{matrix}

b

oldallal szemközti szög tehát

120^{\circ}