A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1. Oldjuk meg az
egyenletrendszert. Megoldás. Az első egyenletet 5-tel, a másodikat ()-vel szorozva, majd az egyenleteket összeadva az egyenletet kapjuk (kiküszöböltük a konstansokat). Innen . Ha , akkor az első (vagy a második) egyenletbe helyettesítve Ha , akkor , ha , akkor . Ha , akkor ; , . Ha , akkor , ha , akkor .
Mind a négy számpár valóban megoldás. 2. Az egyenlet egyik gyöke , a másik gyöke megegyezik az egyenlet diszkriminánsának kétszeresével. Számítsa ki és értékét. Megoldás. Jelölje az egyenlet diszkriminánsát. Az egyenlet alakban írható. Mivel ezért , és így vagy . Ha , akkor , . Ekkor , , így ez valóban megoldás. Ha , akkor , . Ekkor , , így ez is valóban megoldás. 3. Oldja meg az | | egyenletet. Megoldás. Az egyenlet (, ) | | Innen
Ha , akkor ; ennek az egyenletnek nincs valós megoldása. Ha , akkor , , . Ez utóbbi nem lehet megoldás, az valóban megoldás, hiszen kielégíti az egyenletet. 4. Az háromszög köré írt kör sugara egység, az oldalé egység, a másik két oldal aránya . Számítsa ki a háromszög másik két oldalát. Megoldás. Jelölje az oldallal szemközti szöget. Ekkor , azaz , , vagy . Legyen a másik két oldal , illetve . Ha , akkor a koszinusztétel alkalmazásával
a másik két oldal hossza | | egység, és ilyen háromszög valóban létezik, hiszen . Ha , akkor
így a másik két oldal , illetve egység lehet. Mivel , ezért ilyen háromszög is létezik. 5. Írja fel annak a körnek az egyenletét, amely az tengelyt az origóban érinti, és érinti az egyenletű egyenest is. Megoldás. Ha egy kör az tengelyt az origóban érinti, akkor a középpontja az tengelyre illeszkedik, így a középpont ordinátája , a sugara pedig a középpont abszcisszájának abszolút értéke, tehát , azaz . A keresett kör egyenlete tehát alakban írható. Egy ilyen egyenletű kör akkor és csakis akkor érinti az egyenletű egyenest, ha az egyenletek által alkotott egyenletrendszer megoldása során (-re, vagy -ra) kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa nulla.
A feltételeknek megfelelő körök egyenlete:
6. Mely helyeken veszi fel az függvény a legnagyobb és a legkisebb értékét a intervallumban? Mekkora ez a legnagyobb és legkisebb érték? Megoldás. Mivel és ; ezért azonos átalakításokkal Tudjuk, hogy , ezért
Az a legnagyobb értékét, 1-et akkor veszi fel, ha | | azaz, , vagy helyeken veszi fel, és ezek közül az és esik a [] intervallumba. Az a legkisebb értékét, -et akkor veszi fel, ha
Ezek közül csak az esik a [] intervallumba. 7. A valós szám értékétől fűggően hány megoldása van a egyenletnek? Megoldás. Ha , akkor az egyenletnek nincs megoldása. Vegyük figyelembe, hogy . Ha , akkor Ha , akkor , ha pedig | | azaz , . esetén az egyenletnek tehát három megoldása van. Ha , akkor Ennek diszkriminánsa . Ha , azaz , akkor az egyenletnek nincs megoldása. Ha , azaz, ha , akkor | | , , azaz esetén az egyenletnek két megoldása van. Ha , azaz ha akkor Mivel és , ezért ez esetben az egyenletnek négy megoldása van. , , , Összefoglalva : Ha vagy akkor nincs megoldása az egyenletnek. Ha akkor a megoldások száma három (), ha , akkor a megoldások száma kettő (), s ha , akkor a megoldások száma négy (). 8. Egy háromszög , és oldala között a következő összefüggés áll fenn: Mekkora a oldallal szemközti szög? Megoldás. Végezzünk ekvivalens átalakításokat.(). | | Beszorzás és rendezés után A koszinus tétel szerint Ez utóbbi két egyenletből
a oldallal szemközti szög tehát . |