Cím: Mérőlap felvételire - 1989. - III.
Szerző(k):  Rábai Imre 
Füzet: 1989/január, 8 - 10. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

Az itt kitűzött feladatok jellegükben hasonlók a felvételiken szereplő feladatokhoz, ezért jó gyakorlási lehetőséget adnak azoknak, akik felvételi vizsgára készülnek. Célszerű a feladatokat időre megoldani. A felvételiken 180 perc a megoldási idő. A feladatok teljes megoldását nem közöljük. A feladatok végeredményét és néhány jó tanácsot, amire a megoldás során ügyelni kell, lapunk legközelebbi számában közlünk.
*

1. Az ABCD trapéz párhuzamos oldalainak hossza AB=4 egység, DC=1 egység, a szárak hossza AD=2 egység, BC=3 egység.
Számítsa ki a trapéz területét!
2. Az ABC háromszögben AC=6 egység, BC=4 egység. Az AC oldallal szemközti szög kétszerese a BC oldallal szemközti szögnek. Számítsa ki az AB oldal pontos értékét!
3. Mekkorának kell választani az m valós paraméter értékét ahhoz, hogy a
2x2-(5m+10)x+2(m2+m-6)=0
egyenlet gyökei a [-4;-3] intervallumba essenek?
Van-e ebben az esetben olyan m, amikor az egyenlet két gyöke egyenlő?
4. Határozza meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen értelmezhetők az alábbi kifejezések:
a) lg(1-2sin2x); b) lg(1+tg2x).
5. Az ABCD téglalap AB oldalegyenesének egy normálvektora n(1;-3), az A csúcsa: A(2;1). Az (A-val szemközti) C csúcs rajta van az x-y=1 egyenletű egyenesen. Számítsa ki a téglalap hiányzó csúcsainak koordinátáit, ha az átlók hossza 52 egység!
 

6. Oldja meg a következő egyenletrendszert!
xlog4y+ylog4x=4,log2x-log2y=1.

7. A p valós szám értékétől függően hány valós gyöke van a
4|x|-x2=p
egyenletnek?
8. Határozza meg azokat az x, y egész számokból álló számpárokat, amelyekre xy+3x-y=20.
*

A múlt havi feladatok megoldásának vázlata
 

1. A BD szakasz hossza 11 egység, ami a koszinusz-tétel kétszeri alkalmazásával számítható ki.
 

2. x1=4, x2=1.
 

3. sinx=±58, sin3x=±532.
 

4. 5x+1-52x>0 és 5x+1-52x4. Az egyenlőtlenség megoldásai: x0 vagy log54x<1.
 

5. A feltételeknek öt sorozat felel meg. Ha q=0, akkor a1=63; ha q=2, akkor a1=3; ha q=-2, akkor a1=3; ha q=2, akkor a1=9 és ha q=-2, akkor a1=9.
 

6. Az igazolandó egyenlőtlenség a 0<x<2 feltétel mellett a triviálisan teljesülő 5(x-1)20 egyenlőtlenséggel ekvivalens. Az egyenlőség x=1 esetén teljesül. Dolgozhatunk két pozitív szám számtani és mértani közepe közötti egyenlőtlenség alkalmazásával is. Most x+y2=1, így xy1, xy1.
 

7. A bizonyítás során alkalmazhatjuk azt az ábrát, amelyet a háromszög magasságvonalainak egy pontban való metszése igazolása során készítünk.
 

8. A feltételeknek négy paralelogramma felel meg.
C1(-8;7),D1(0;13);C2(8;-1),D2(16;5);C3(-16;1),D3(-8;7);C4(0;-7),D4(8;-1).



A megoldás során paraméter segítségével dolgozhatunk és alkalmazhatjuk a P0(x0;y0) pontnak az Ax+By+C=0 egyenletű egyenestől való távolságát, a
d=|Ax0+By0+C|A2+B2
képletet.
A távolságot trigonometria alkalmazásával is kiszámíthatjuk.