Cím: 1987. évi Eötvös Loránd Fizikaverseny
Szerző(k):  Károlyházy Frigyes ,  Vermes Miklós 
Füzet: 1988/február, 81 - 85. oldal  PDF file
Témakör(ök): Eötvös Loránd (korábban Károly Irén)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az Eötvös Loránd Fizikai Társulat 1987. október 17-én rendezte 64-ik versenyét Budapesten és 12 vidéki városban az abban az évben érettségizettek és középiskolai tanulók részére. A versenyzők 5 órai munkaidő alatt oldhattak meg három fizikai feladatot. Bármely segédeszköz használata megengedett volt. A versenyen 267 dolgozatot adtak be. Ismertetjük a feladatokat és a verseny eredményét.

*

1. Különböző hajlásszögű lejtőkről golyót gurítunk le. A lejtők magassága egyenlő. A csúszó súrlódási együttható μ=0,1. Mekkora hajlásszögű lejtőnél fejlődik a legtöbb meleg?
 
Megoldás. Vizsgáljuk meg a legurulást egy súrlódásos lejtőn (1. ábra). Használjuk ezt a jelölést: Θ/mr2=k. Itt m a guruló test tömege, r a sugara és Θ a tehetetlenségi nyomaték a középpontra vonatkoztatva. Ezzel a jelöléssel eredményeink bármilyen alakú test esetében használhatók lesznek.
 
 
1. ábra
 

Amikor a súrlódó felületek elmozdulnak egymáshoz képest, akkor jön létre a legnagyobb súrlódási erő: μmgcosα, az emiatt keletkező maximálisan lehetséges szöggyorsulás:
β=μmgrcosαΘ.
A kerületi pont gyorsulása a forgás következtében maximálisan μgcosα/k. A megcsúszás határesetében és azután a középpont lineáris gyorsulása g(sinα-μcosα). A megcsúszás határesetében ez egyenlő a kerületi pont gyorsulásával:
g(sinα-μcosα)=μgcosαk.
Ebből következik, hogy annak a lejtőnek az αh hajlásszöge, amelynél a megcsúszás kezdődik:
  tg  αh=μ(1+kk).
A mi esetünkben μ=0,1 és k=0,4, tg αh=0,35, αh=19,3.
Mindaddig, amíg a lejtő ennél nem meredekebb, és sima legördülés megy végbe, a súrlódási erő nem végez munkát, nem fejlődik hő. Megvizsgáljuk a mozgás lefolyását meredekebb lejtő esetében. Ekkor a középpont lineáris gyorsulása:
ac=g(sinα-μcosα).
A leérés ideje a h/sinα hosszúságú lejtőn:
t=2hgsinα(sinα-μcosα).
A középpont végsebessége:
v=2gh(1-μtgα).
Eközben μmgcosα súrlódási erő forgat, a forgás szöggyorsulása β=μmgcosα/Θ, a kerületi pontnak a forgáshoz tartozó gyorsulása:
af=μgcosαk.

A forgás szögsebessége leéréskor:
ω=βt=μmgrcosαΘ2hgsinα(sinα-μcosα).

 
 
2. ábra
 

A 2. ábra első rajza a súrlódási erőt és a gyorsulásokat tünteti fel a lejtő hajlásszögének függvényében.
A fejlődött hő kiszámítása kétféle eljárással lehetséges.
 
I. A súrlódási erő munkáját a súrlódási erő és az ún. köszörülési út szorzata adja meg. A köszörülési út a középpont útjának és a kerületi pont forgás következtében megtett útjának a különbsége. A kerületi pontnak a forgáshoz tartozó útja:
af2t2=μhcosαk(sinα(sinα-μcosα)).
A köszörülési út:
hsinα[1-μcosαk(sinα-μcosα)].
Megszorozva μmgcosα súrlódási erővel, megkapjuk a fejlődött hőt:
Q=μmghktgα-μ(1+k)ktgα(tgα-μ).

II. Megvizsgáljuk, hogy a lejtő aljára érve a haladásban és a forgásban levő mozgási energia összege mennyivel kevesebb, mint a kezdeti mgh helyzeti energia. A haladó mozgáshoz tartozó mozgási energia a lejtő alján:
Ec=mv22=mgh(1-μtgα).
A forgáshoz tartozó mozgási energia a lejtő alján:
Ef=ω2Θ2=mghμ2tgα(tgα-μ)k.
Az összes mozgási energia:
E=Ec+Ef=mgh[1-μktgα-μ2(1+k)ktgα(tgα-μ)].
Az elveszett mozgási energiából lett hő:
Q=mgh-E=μmghktgα-μ(1+k)ktgα(tgα-μ).

A 2. ábra legalsó két rajza mutatja az energiák és a fejlődött meleg függését a lejtő hajlásszögétől.
A fejlődött hő azon αm hajlásszögű lejtőnél maximális, amelyre nézve:
tgαm=μ1+k+1+kk.
A mi feladatunkban μ=0,1 és k=0,4, ekkor
tgαm=7+3520=0,6458,αm=32,85.
A maximális hőfejlődés:
Qm=mgh2+k-21+kk.
A mi esetünkben Qm=mgh(2,4-21,40,4)=0,0839mgh.
Érdekes körülmény, hogy a súrlódási együtthatótól függetlenül a maximális esetben fejlődött meleg mindig ugyanannyi, csak a gördülő test alakjától függ.
 
2. Egy henger terét egy dugattyú választja ketté (3. ábra). Minden alkatrész jó hővezető és a hőmérséklet 100C. A bal oldali 1dm3-es részben hélium van. A jobb oldali 1dm3-es részben vízgőz és 0,588 gramm folyékony víz van. A nyomás 1 atmoszféra (105Pa). Ezután változtatjuk a hőmérsékletet a lehető legalacsonyabbtól a legmagasabbig. Vizsgáljuk meg, hogyan függ a dugattyú helyzete a hőmérséklettől?
 
 
3. ábra
 

Megoldás. Amíg a jobb oldali részben folyékony víz van jelen, addig a hélium nyomása is az adott hőmérséklethez tartozó telített vízgőznyomás. 373K-en a moltérfogat 37322,4:273=30dm3. Az 1dm3-es kezdeti térfogat 373K-en 1:30,6=0,0327 molt jelent. Ez vízgőz esetében 0,032718=0,588 gramm. A folyékony víz, illetve jég térfogata elhanyagolható.
Amennyiben a hőmérséklet kezd 100C alá süllyedni, a nyomás kisebb lesz, de a hélium nemcsak a kisebb nyomás, de az alacsonyabb hőmérséklet miatt is kiterjed. A héliumra nézve a gáztörvény:
 
pV=nRT, ami a mi esetünkben n=0,0327mol,
R=0,082J/K, p atmoszféra, Vdm3.
 

Ebből a gáztörvényből következően a hélium térfogata a nyomástól így függ:
V=0,002681Tp.
Táblázatok tartalmazzák, hogy a különböző hőmérsékleteken mennyi a tenzió, ezek hányadosából következik a hélium térfogata. Tehát fel kell rajzolni, hogy különböző hőmérsékleteken mennyi a hélium térfogata (4. ábra).
 
 
4. ábra
 

Keressük, lehűléskor mikor éri el a hélium a lehető legnagyobb, vagyis 2dm3 térfogatát. Ez kb. 80C-on következik be, akkor a dugattyú a henger jobb oldali szélén van, alatta milliméteres rétegben folyékony víz. Ez az állapot 80C-nál kisebb hőmérsékleten is így marad.
100C-nál melegebb hőmérsékleten a folyékony víz egy része elpárolog, a gőz telített marad. Akkor, amikor a folyékony víz éppen elpárolgott, a jobb oldali részben kétszer annyi gázmolekula van, mint a bal oldaliban, tehát az egész henger térfogatán a hélum és a vízgőz 1:2 arányban osztoznak, a hélium térfogata 6,67dm3. A görbéről leolvasható, hogy ez az állapot kb. 113C-on következik be. Tovább emelve a hőmérsékletet a dugattyú változatlanul ezen a helyen marad.
 
3. Egy kartonhengertől meghatározott távolságra vékony fonálra egy lágyvas darabkát függesztünk (5. ábra). A hengerre huzalból tekercset csévélünk és erre egy meghatározott váltófeszültséget kapcsolunk. A vasdarabka kissé elmozdul. Hogy a hatást megnöveljük, a hengerre kétszer annyi menetet csévélünk. Mit fogunk tapasztalni?
 
 
5. ábra
 

Megoldás. A vasdarabkára kifejtett hatás a tekercs ampermenetszámától függ. Menetszám megkétszerezése az ampermenetszámot kétszerezné és erősebb hatást okozna. De a tekercs induktivitása és emiatt váltóáramú ellenállása a menetszám négyzetével növekszik. Így a menetszám kétszerezése negyedrészre csökkentené az áramerősséget, ami a fokozott menetszám ellenére a hatás csökkenését jelentené.
 
A verseny eredménye

 
A bizottság első díjat nem adott ki. II. díjat hárman kaptak egyenlő helyezésben: Gyuris Viktor honvéd, aki Budapesten a Fazekas Mihály Gimnáziumban érettségizett mint Horváth Gábor tanítványa; Nagy Gergely a Budapesti Műszaki Egyetem hallgatója, aki Budapesten a József Attila Gimnáziumban érettségizett mint Sarkadi Ildikó tanítványa és Páczelt Ferenc honvéd, aki Budapesten a Móricz Zsigmond Gimnáziumban érettségizett mint Sikó Attiláné tanítványa.
 
III. díjat öten kaptak egyenlő helyezésben: Cynolter Gábor honvéd, aki Budapesten a Fazekas Mihály Gimnáziumban érettségizett mint Horváth Gábor tanítványa; Fucskár Attila a budapesti Kaffka Margit Gimnázium IV. o. tanulója, tanára Jánosi Ilona; Jakab Péter a szolnoki Verseghy Ferenc Gimnázium IV. o. tanulója, tanára Sebestyén István; Kégl Balázs a budapesti Apáczai Csere János Gimnázium IV. o. tanulója, tanára Zsigri Ferenc és Kiss Tamás a budapesti József Attila Gimnázium IV. o. tanulója, tanára Tóth Eszter.
 
Dicséretet ketten kaptak egyenlő helyezésben: Derényi János a győri Révai Miklós Gimnázium IV. o. tanulója, tanára Székely László és Lang András a győri Révai Miklós Gimnázium IV. o. tanulója, tanárai Székely László, Bőnyi Mihály és Jagurits György.
A bizottság megállapította, hogy két versenyző szép dolgozata csak kevéssel maradt el a nyertesek teljesítménye mögött. E dolgozatok szerzői: Balogh Péter a budapesti ELTE TTK fizikus hallgatója (Mezőkövesden érettségizett az I. László Gimnáziumban mint Rácz György tanítványa) és Szokoly Gyula honvéd (Budapesten érettségizett a Fazekas Mihály Gimnáziumban mint Horváth Gábor tanítványa).