Kezdőlap


Cím:	1987. évi Eötvös Loránd Fizikaverseny
Szerző(k):	Károlyházy Frigyes , Vermes Miklós
Füzet:	1988/február, 81 - 85. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Eötvös Loránd (korábban Károly Irén)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az Eötvös Loránd Fizikai Társulat 1987. október 17-én rendezte 64-ik versenyét Budapesten és 12 vidéki városban az abban az évben érettségizettek és középiskolai tanulók részére. A versenyzők 5 órai munkaidő alatt oldhattak meg három fizikai feladatot. Bármely segédeszköz használata megengedett volt. A versenyen 267 dolgozatot adtak be. Ismertetjük a feladatokat és a verseny eredményét.

1. Különböző hajlásszögű lejtőkről golyót gurítunk le. A lejtők magassága egyenlő. A csúszó súrlódási együttható

μ = 0, 1

. Mekkora hajlásszögű lejtőnél fejlődik a legtöbb meleg?

Megoldás. Vizsgáljuk meg a legurulást egy súrlódásos lejtőn (1. ábra). Használjuk ezt a jelölést:

Θ / m r^{2} = k

. Itt

m

a guruló test tömege,

r

a sugara és

Θ

a tehetetlenségi nyomaték a középpontra vonatkoztatva. Ezzel a jelöléssel eredményeink bármilyen alakú test esetében használhatók lesznek.

1. ábra

Amikor a súrlódó felületek elmozdulnak egymáshoz képest, akkor jön létre a legnagyobb súrlódási erő:

μ m g cos α

, az emiatt keletkező maximálisan lehetséges szöggyorsulás:

\begin{matrix} β = \frac{μ m g r cos α}{Θ} . \end{matrix}

A kerületi pont gyorsulása a forgás következtében maximálisan

μ g cos α / k

. A megcsúszás határesetében és azután a középpont lineáris gyorsulása

g (sin α - μ cos α)

. A megcsúszás határesetében ez egyenlő a kerületi pont gyorsulásával:

\begin{matrix} g (sin α - μ cos α) = \frac{μ g cos α}{k} . \end{matrix}

Ebből következik, hogy annak a lejtőnek az

α_{h}

hajlásszöge, amelynél a megcsúszás kezdődik:

\begin{matrix} tg α_{h} = μ (\frac{1 + k}{k}) . \end{matrix}

A mi esetünkben

μ = 0, 1

és

k = 0, 4

tgα_{h}=0,35

α_{h} = 19, 3^{\circ}

.
Mindaddig, amíg a lejtő ennél nem meredekebb, és sima legördülés megy végbe, a súrlódási erő nem végez munkát, nem fejlődik hő. Megvizsgáljuk a mozgás lefolyását meredekebb lejtő esetében. Ekkor a középpont lineáris gyorsulása:

\begin{matrix} a_{c} = g (sin α - μ cos α) . \end{matrix}

A leérés ideje a

h / sin α

hosszúságú lejtőn:

\begin{matrix} t = \sqrt[]{\frac{2 h}{g sin α (sin α - μ cos α)}} . \end{matrix}

A középpont végsebessége:

\begin{matrix} v = \sqrt[]{2 g h (1 - \frac{μ}{tg α})} . \end{matrix}

Eközben

μ m g cos α

súrlódási erő forgat, a forgás szöggyorsulása

β = μ m g cos α / Θ

, a kerületi pontnak a forgáshoz tartozó gyorsulása:

\begin{matrix} a_{f} = \frac{μ g cos α}{k} . \end{matrix}

A forgás szögsebessége leéréskor:

\begin{matrix} ω = β t = \frac{μ m g r cos α}{Θ} \sqrt[]{\frac{2 h}{g sin α (sin α - μ cos α)}} . \end{matrix}

2. ábra

A 2. ábra első rajza a súrlódási erőt és a gyorsulásokat tünteti fel a lejtő hajlásszögének függvényében.
A fejlődött hő kiszámítása kétféle eljárással lehetséges.

I. A súrlódási erő munkáját a súrlódási erő és az ún. köszörülési út szorzata adja meg. A köszörülési út a középpont útjának és a kerületi pont forgás következtében megtett útjának a különbsége. A kerületi pontnak a forgáshoz tartozó útja:

\begin{matrix} \frac{a_{f}}{2} \cdot t^{2} = \frac{μ \cdot h cos α}{k (sin α (sin α - μ cos α))} . \end{matrix}

A köszörülési út:

\begin{matrix} \frac{h}{sin α} [1 - \frac{μ cos α}{k (sin α - μ cos α)}] . \end{matrix}

Megszorozva

μ m g cos α

súrlódási erővel, megkapjuk a fejlődött hőt:

\begin{matrix} Q = μ m \cdot g h \cdot \frac{k tg α - μ (1 + k)}{k tg α (tg α - μ)} . \end{matrix}

II. Megvizsgáljuk, hogy a lejtő aljára érve a haladásban és a forgásban levő mozgási energia összege mennyivel kevesebb, mint a kezdeti

m g h

helyzeti energia. A haladó mozgáshoz tartozó mozgási energia a lejtő alján:

\begin{matrix} E_{c} = \frac{m v^{2}}{2} = m g h (1 - \frac{μ}{tg α}) . \end{matrix}

A forgáshoz tartozó mozgási energia a lejtő alján:

\begin{matrix} E_{f} = \frac{ω^{2} Θ}{2} = m g h \frac{μ^{2}}{tg α (tg α - μ) k} . \end{matrix}

Az összes mozgási energia:

\begin{matrix} E_{\sum} = E_{c} + E_{f} = m g h \cdot [1 - \frac{μ k tg α - μ^{2} (1 + k)}{k tg α (tg α - μ)}] . \end{matrix}

Az elveszett mozgási energiából lett hő:

\begin{matrix} Q = m g h - E_{\sum} = μ \cdot m g h \frac{k tg α - μ (1 + k)}{k tg α (tg α - μ)} . \end{matrix}

A 2. ábra legalsó két rajza mutatja az energiák és a fejlődött meleg függését a lejtő hajlásszögétől.
A fejlődött hő azon

α_{m}

hajlásszögű lejtőnél maximális, amelyre nézve:

\begin{matrix} tg α_{m} = μ \frac{1 + k + \sqrt[]{1 + k}}{k} . \end{matrix}

A mi feladatunkban

μ = 0, 1

és

k = 0, 4

, ekkor

\begin{matrix} tg α_{m} = \frac{7 + \sqrt[]{35}}{20} = 0, 6458, α_{m} = 32, 85^{\circ} . \end{matrix}

A maximális hőfejlődés:

\begin{matrix} Q_{m} = m g h \frac{2 + k - 2 \sqrt[]{1 + k}}{k} . \end{matrix}

A mi esetünkben

Q_{m} = m g h (\frac{2, 4 - 2 \sqrt[]{1, 4}}{0, 4}) = 0, 0839 m g h .

Érdekes körülmény, hogy a súrlódási együtthatótól függetlenül a maximális esetben fejlődött meleg mindig ugyanannyi, csak a gördülő test alakjától függ.

2. Egy henger terét egy dugattyú választja ketté (3. ábra). Minden alkatrész jó hővezető és a hőmérséklet

100^{\circ} C

. A bal oldali

1 {dm}^{3}

-es részben hélium van. A jobb oldali

1 {dm}^{3}

-es részben vízgőz és

0, 588

gramm folyékony víz van. A nyomás

1

atmoszféra

(10^{5} Pa)

. Ezután változtatjuk a hőmérsékletet a lehető legalacsonyabbtól a legmagasabbig. Vizsgáljuk meg, hogyan függ a dugattyú helyzete a hőmérséklettől?

3. ábra

Megoldás. Amíg a jobb oldali részben folyékony víz van jelen, addig a hélium nyomása is az adott hőmérséklethez tartozó telített vízgőznyomás.

373 K

-en a moltérfogat

373 \cdot 22, 4 : 273 = 30 {dm}^{3}

. Az

1 {dm}^{3}

-es kezdeti térfogat

373 K

-en

1 : 30, 6 = 0, 0327

molt jelent. Ez vízgőz esetében

0, 0327 \cdot 18 = 0, 588

gramm. A folyékony víz, illetve jég térfogata elhanyagolható.
Amennyiben a hőmérséklet kezd

100^{\circ} C

alá süllyedni, a nyomás kisebb lesz, de a hélium nemcsak a kisebb nyomás, de az alacsonyabb hőmérséklet miatt is kiterjed. A héliumra nézve a gáztörvény:

p V = n R T

, ami a mi esetünkben

n = 0, 0327 mol

R = 0, 082 J/K

p

atmoszféra,

V