Cím: Mérőlapok felvételire - 1987. - V.
Szerző(k):  Bényei Károly 
Füzet: 1987/április, 149. oldal  PDF file
Témakör(ök): Felvételi előkészítő feladatsor

1. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:
3log1000(x-1)+2log1000(x+3)-2x+3log10(x2+2x-3)=0.

2. Legyen az f:RR függvény a következő : bármely valós x értékre f(x) legyen az x-nek a [0; 2] zárt intervallum legtávolabbi egész értékétől való távolsága. Írja fel az f függvényt képlettel és ábrázolja!
3. Egy derékszögű háromszög átfogója c, befogói a és b. Megforgatjuk a háromszöget mindhárom oldala körül. Legyen az átfogó körüli forgatáskor keletkezett forgástest térfogata Vc, a befogók körüli forgatáskor keletkezett forgástestek térfogata Va,Vb. Igazolja, hogy
1Vc2=1Va2+1Vb2.

4. Milyen valós x-ek elégítik ki a következő egyenletet:
sin3x(1+ctgx)+cos3x(1+tgx)=cos2x.

5. Az ABCD négyzet oldala a. Az AC átlóján felvesszük az E pontot úgy, hogy AE:AC=1:3. A DE egyenes a négyzet köré írt kört F-ben, a CB oldal meghosszabbítását G-ben metszi. Bizonyítsa be, hogy
a) GA a kör érintője,
b) GFGD=2a2.
6. Legyen az ABCS tetraéderben SASBSCSA. Hegyesszögű-e az ABC háromszög?
7. Az egész számok sorozatából valamelyik számtól kezdve minden nyolcadik számot kivesszük addig, amíg a kivett számok összege 473 lesz. Melyik számot vettük ki először és hány számot vettünk ki?
8. Határozza meg a k paraméter azon egész szám értékét, amelyre a
(k2-1)x2-(2k2-3k-1)x+k2-3k+2=0
egyenlet gyökei egész számok!