Kezdőlap


Cím:	Mérőlapok felvételire - 1987. - V.
Szerző(k):	Bényei Károly
Füzet:	1987/április, 149. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet:

\begin{matrix} 3 \cdot log_{1000} (x - 1) + 2 \cdot log_{1000} (x + 3) - 2^{x + 3} \cdot log_{10} (x^{2} + 2 x - 3) = 0. \end{matrix}

2. Legyen az

f : R \to R

függvény a következő : bármely valós

x

értékre

f (x)

legyen az

x

-nek a [0; 2] zárt intervallum legtávolabbi egész értékétől való távolsága. Írja fel az

f

függvényt képlettel és ábrázolja!
3. Egy derékszögű háromszög átfogója

c

, befogói

a

és

b

. Megforgatjuk a háromszöget mindhárom oldala körül. Legyen az átfogó körüli forgatáskor keletkezett forgástest térfogata

V_{c}

, a befogók körüli forgatáskor keletkezett forgástestek térfogata

V_{a}, V_{b} .

Igazolja, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{V_{c}^{2}} = \frac{1}{V_{a}^{2}} + \frac{1}{V_{b}^{2}} . \end{matrix}

4. Milyen valós

x

-ek elégítik ki a következő egyenletet:

\begin{matrix} sin^{3} x (1 + ctg x) + cos^{3} x (1 + tg x) = cos 2 x . \end{matrix}

5. Az

A B C D

négyzet oldala

a

. Az

A C

átlóján felvesszük az

E

pontot úgy, hogy

A E : A C = 1 : 3.

D E

egyenes a négyzet köré írt kört

F

-ben, a

C B

oldal meghosszabbítását

G

-ben metszi. Bizonyítsa be, hogy
a)

G A

a kör érintője,
b)

G F \cdot G D = 2 a^{2} .

6. Legyen az

A B C S

tetraéderben

S A ⊥ S B ⊥ S C ⊥ S A

. Hegyesszögű-e az

A B C

háromszög?
7. Az egész számok sorozatából valamelyik számtól kezdve minden nyolcadik számot kivesszük addig, amíg a kivett számok összege 473 lesz. Melyik számot vettük ki először és hány számot vettünk ki?
8. Határozza meg a

k

paraméter azon egész szám értékét, amelyre a

\begin{matrix} (k^{2} - 1) x^{2} - (2 k^{2} - 3 k - 1) x + k^{2} - 3 k + 2 = 0 \end{matrix}

egyenlet gyökei egész számok!