Cím: Olimpiai előkészítő feladatok - 1981. - III.
Szerző(k):  Szikszai József 
Füzet: 1981/május, 208. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ebben a rovatban havonta tíz-tíz olyan érdekes ‐ könnyebb vagy nehezebb ‐ feladatot fogunk elmondani, amelyek a Matematikai Diákolimpiára előkészítőül szolgálnak. A feladatok megoldását nem kérjük beküldeni, és a megoldásokat sem fogjuk ismertetni.
1. Melyik a nagyobb az alábbi két szám közül:

7+777-77,77-7-777

2. Igazoljuk, hogy ha az x1,x2,...,xn pozitív számok szorzata 1, akkor
i=1nxini=1nxin+1

3. Határozzuk meg azokat az m, n természetes számokból álló számpárokat, amelyekre az
1-sin2nx1-sin2mx=sinnx
egyenletnek van valós megoldása.
 

4. Igazoljuk, hogy
k=1n-1ctgkπncos2kπn=0.

5. Oldjuk meg a
(2x-1)n+(1-x)n=xn
egyenletet, ha n adott természetes szám.
 

6. Határozzuk meg a
(2-cos2α1)(2-cos2α2)...(2-cos2αn)+(cosα1cosα2...cosαn)2
kifejezés legnagyobb és legkisebb értékét, ha n adott természetes szám.
 

7. Igazoljuk, hogy a nemnegatív a, b, c, d számokra
(a+c)(b+d)(2a+c+d)(2b+c+d)4cd(2a+c)(2b+d).

8. Jelölje n db pozitív szám mértani közepét M, k-adik hatványközepét Hk (k természetes szám). Igazoljuk, hogy
(n-1)MnnHn-1n-1H1-Hnn.

9. Igazoljuk, hogy bármely (n,k) természetes számokból álló számpárhoz egyetlen olyan f(n,k) természetes szám van, amely kielégíti az
(n+1+n)k=f(n,k)+1+f(n,k)
összefüggést.
 

10. Milyen x,y valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség?
x3+y323x2+y22.